Modulo ist eine Rechenoperation, die für zahlreiche Verschlüsselungsverfahren und auch für Schlüsselaustausch-Verfahren verwendet wird. Modulo (mod) bezeichnet den Rest einer ganzzahligen Division.
Einführungsbeispiele
Aus der Berechnung der Uhrzeit wenden wir die Modulo-Rechnung täglich an. Der Uhrzeit 16.00 sagen wir auch 4 Uhr nachmittags. Das ist die Modulo-Rechnung mit der Zahl 12:
Wie spät nachmittags ist 16.00 Uhr?
16 mod 12 = 4
(a mod b = r)
Wir rechnen 16 : 12 = 1. Der ganzzahlige Rest ist 4. Die Uhrzeit ist also 4 Uhr nachmittags.
Unsere Wochentage (mod 7)
Sie sind auch ein gutes Beispiel für die Modulo-Rechnung.
Aufgabe: Wir haben heute Dienstag. Welcher Tag wird in genau 1000 Tagen sein?
1000 mod 7 = ?
Wir rechnen 1000 : 7. Das gibt 142 plus einen dezimalen Rest. Beim schriftlichen Dividieren rechnen wir nun zurück: 142 · 7 = 994. Nun ziehen wir 994 von 1000 ab und schreiben: Rest = 6.
Damit haben wir das Resultat: 1000 mod 7 = 6. Also wird es ein Montag (Dienstag + 6 Tage) sein.
Definition von Division mit Rest
Seien a ∈ Z und b ∈ N, dann existiert immer genau ein Zahlenpaar q und r ∈ Z mit
a = q · b + r und 0 ≤ r < b
b ist die Zahl, mit der man durch q teilt.
a ist eine beliebige oder gegebene Zahl
r ist der Rest
wir können auch schreiben:
q = a div b
div ist die ganzzahlige Division ohne Rest
r = a mod b (oder modulo)
Beispiele zur Definition
a = 13, b = 4 dann ist q = 3 und r = 1, also 13 = 3 · 4 + 1
a = – 13, b = 4 dann ist q = – 4 und r = 3, also – 13 = – 4 · 4 + 3
a = – 29, b = 8 dann ist q = -4 und r = 3, also – 29 = – 4 · 8 + 3
Modulo mit grossen Zahlen
Bei grossen Zahlen, z.B.
165’821 mod 27 = 165’821 % 27 = ?
gehen wir schrittweise folgendermassen vor:
Wir teilen mit dem Taschenrechner 165’821 durch 27 und erhalten:
6’141.5185… Nun nehmen wir den ganzen Anteil 6141 und streichen den dezimalen Rest.
Wir rechnen: 6141 mal 27 und erhalten 165’807. Diese Zahl ziehen wir von 165’821 ab:
165821 – 165807 = 14 (Rest). Dieser Rest ist das Ergebnis obiger Modulo-Rechnung:
165’821 mod 27 = 165’821 % 27 = 14
Weitere Rechen-Beispiele
21 mod 4 = 1 , da 21 : 4 = 5 der Rest ist 1
15 mod 8 = 7 , da 15 : 8 = 1 der Rest ist 7
35 mod 7 = 0 , da 35 : 7 = 5 der Rest ist 0
Modulo Rechner Online
Hier kannst Du ganz einfach Modulo berechnen, online