Möndchen des Hippokrates (Aufgabe 11)

Die Möndchen des Hippokrates sind eine klassische Mathe-Aufgabe. Hier wird bewiesen, dass die gelben Möndchen zusammen die selbe Fläche haben wie das rechtwinklige Dreieck.

halbmonde hipokrates

Gegeben: Seitenlängen des rechtwinkligen Dreiecks a, b, c

wobei c2 = a2 + b2 (das Dreieck ist rechtwinklig, was wir bereits am Thales-Kreis erkennen können). Es gilt also der Pythagoras.

Flächenberechnung der Möndchen

Idee: Grünes Dreieck plus Halbkreis über b plus Halbkreis über a minus Halbkreis über c.

Möndchen M = ½ ⋅ a ⋅ b + ½ ⋅ (b/2)2  ⋅ π  + ½ ⋅ (a/2)2 ⋅ π – ½ (c/2)2 ⋅ π

wir vereinfachen den Ausdruck, indem wir ½ ⋅ π ausklammern:

Möndchen M = ½ ⋅ a ⋅ b +  ½ ⋅ π (a ⋅ b + (b/2)2   +  (a/2)2  –  (c/2)2)

nach dem Pythagoras ist  b2   +  a2  –  c2 = 0, somit ist auch (b/2)2   +  (a/2)2  –  (c/2)2) = 0

also ist die Fläche der Möndchen M =  ½ ⋅ a ⋅ b , was der Fläche des Dreiecks entspricht.

q.e.d. (quot erat demonstrandum, was zu beweisen war)

 

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