Zusammengesetzte Körper

Aus Quader gebaute Körper – Aufgaben und Lösungen

Zusammengesetzte Körper zu berechnen ist einfach, doch es verlangt Geduld und Konzentration.

Beispiel 1: Würfel auf Quader

zusammengesetzter körper meinstein.ch

Berechnung der Oberfläche

Überlegung: Wir können die Oberfläche eines Quaders und dann eines Würfels berechnen. Dort, wo der Würfel auf dem Quader steht, wird einerseits beim Quader wie auch beim Würfel eine Fläche der Würfelseite abgedeckt.

Gegeben: a = 6cm, b = 1cm und c = 2cm

Quader Oberfläche: AQ = 2ab + 2ac + 2bc

Würfel Oberfläche: AW = 6c2

Abgedeckte Fläche: AA = 2c2

Total Oberfläche = AQ + AW – AA = 12cm2 + 24cm2 + 4cm2 + 24cm2 – 8cm2 = 56cm2

Berechnung des Volumens

Volumen Quader: VQ = abc = 12cm2
Volumen Würfel: VW = c3 = 8cm3
Volumen insgesamt: V = 20cm3

Beispiel 2

zusammengesetzter koerper 1

Überlegung zur Oberfläche

Der Körper hat eine identische Vorder- und Rückseite. Sie kann in 4 Rechtecke zerlegt werden, wobei 2 davon identisch sind. Also
A1 = 8cm · 3cm (mittlere Fläche) = 24cm2
A2 = 2cm · 1.5cm (seitliche Flächen, kommen doppelt vor) 2A2 = 6cm2
A3 = 2cm · 1.5cm (untere Fläche) = 3cm2

A Front = 33cm2
A Hinterseite = 33cm2

zusammengesetzter koerper front 2    zusammengesetzter koerper umfang

Die restlichen Flächen haben alle die gleiche Höhe (nämlich hier 9cm). Sie können zu einem grossen Rechteck auseinandergefaltet werden:

A = 9cm (1.5 + 3 + 5 + 1.5 + 2 + 5 + 2 + 1.5 + 5 + 3 + 1.5 + 2)cm = 9cm ⋅ 33cm = 297cm2

Front, Rückseite und Manschette addiert:

A Total = 33cm2 + 33cm2 + 297cm2 = 363cm2

Überlegung zum Volumen

Der Körper hat eine Tiefe von 9cm. Das Volumen also erhalten wir, indem wir die Frontfläche mit der Tiefe multiplizieren.

V = A Front ⋅ Tiefe = 33cm2 ⋅ 9cm = 297cm3

Beispiel 3

Folgender Block hat zwei runde Löcher. Die Aussparungen sind Zylinder.

quader mit loechern

Höhe a = 5cm
Breite b = 4cm
Tiefe c = 6cm

Durchmesser Loch
d = 2cm

 

Überlegungen zur Oberfläche

Zuerst die Oberfläche des Quaders berechnen.
Abgezogen werden 4 Kreisflächen.
Dazu kommt die innere Oberfläche. Diese ist rechteckig (Tiefe c x Kreislinie).

Oberfläche Quader A Quader = 148cm2

Kreisoberfläche A Kreis = 3.14cm2 (diese Fläche muss 4-Mal abgezogen werden).

Innere Oberfläche A innere = 2cm  ⋅ 3.14 = 6.28cm2 (diese Fläche gibt es zwei Mal).

Total A = A Quader – 4 ⋅ A Kreis + 2 ⋅ A innere = 173.133cm2

Berechnung des Volumens

Vom Volumen des Quaders werden zwei Zylinder abgezogen.

V Quader = 120cm3

V Zylinder = 2 ⋅ 3.14 ⋅ 6cm = 37.699cm3

V Total = 157.699 cm

Beispiel 4

zusammen gesetzter koerper

Gelbe Flächen
Unter-Boden 100 · 100 = 10000
Boden 76 · 100 =  7600
kleine waagrechte 2 · 12 · 30 =  720
grössere waagrechte 2 · 12 · 40 = 960
Blaue Flächen
Hufeisen 2 (12 · 100 + 12 · 12 + 12 · 12) = 2976
kleine blaue Flächen  2 (28 · 12) = 672
Hellblaue Flächen 2 (41.036569 · 12) = 984.88
Rote Flächen
rechts gross (sichtbar)  100 · 24 + 28 · 40 = 3520
rechts klein (unsichtbar)  100· 12 + 28 · 40 = 2320
links klein (sichtbar)  100 · 12 + 40 · 28 + 30 · 28 = 3160
links gross (unsichtbar)    100 · 24 + 40 · 28 + 30 · 28 = 4360
Total Oberfläche   37272.88