Zahlensysteme – Zehner – Dual – Hexagesimal

Zahlensysteme liegen einer Kultur zugrunde. Wohl wegen unseren 5-strahligen Händen ist das 10-er-System weit verbreitet. Doch wir finden in der Vergangenheit auch 6-er Systeme.

In der Gegenwart, aufgrund der technischen Entwicklung mit Strom (Computer) wurde vor allem das Binärsystem wichtig. Aufbauend auf das Binärsystem ist das Hexigesimalsystem.

dezimal

Das Dezimalsystem (Basis ist 10)

Wir sind uns gewohnt, im Zehnersystem zu rechnen, d.h. mit unseren 10 Ziffern stellen wir alle Zahlen dar.
Sind alle Ziffern (Zeichen) “aufgebraucht”, wird links von der Ziffer eine nächste gesetzt, beginnend wieder bei 0. Mit zwei Ziffern lassen sich 100 Zahlen bilden).

0     10     20     30     40     50     60     70     80     90
1     11     21     31     41     51     61     71     81     91
2     12     22     32     42     52     62     72     82     92
3     13     23     33     43     53     63     73     83     93
4     14     24     34     44     54     64     74     84     94
5     15     25     35     45     55     65     75     85     95
6     16     26     36     46     56     66     76     86     96
7     17     27     37     47     57     67     77     87     97
8     18     28     38     48     58     68     78     88     98
9     19     29     39     49     59     69     79     89     99

Das Dezimalsystem ist ein Stellenwertsystem.

2’583 bedeutet also:

2’583     3 gehört zu den Einsern
2’583     8 gehört zu den Zehnern
2′583     5 gehört zu den Hundertern
2‘583     2 gehört zu den Tausendern

zahlensysteme

Damit ist 2’583 = 3 + 80 + 500 + 2000

dual

Das Dualsystem oder Binärsystem (Basis ist 2)

Im Zweier- oder Dualsystem gibt es nur zwei Ziffern. Üblicherweise nehmen wir 0 und 1.
Die Zahlen werden genau gleich gebildet wie im Zehnersystem (mit zwei Stellen kann man nur gerade 4 Zahlen bilden).

0000         0001         0010        0100        1000         10000
                          0011        0101        1001         10001
                                      0110        1010         10010
                                      0111        1011         ...
                                                  1100
                                                  1101
                                                  1110
                                                  1111

 

hexa

Das Hexagesimalsystem (Basis ist 16)

Das Hexagesimalsystem hat statt 10 nun 16 Zeichen. Nach 9 folgen die ersten Buchstaben unseres Alphabets. Hier alle 2-stelligen Zahlen (es sind 256). Dieses Zahlensystem spielt im Computer eine Rolle (z.B. die Farbwerte im RGB-System werden so angegeben).

0     10     20     30     ...     A0     B0     ...     F0
1     11     21     31     ...     A1     B1     ...     F1
2     12     22     32     ...     A2     B2     ...     F2
3     13     23     33     ...     A3     B3     ...     F3
4     14     24     34     ...     A4     B4     ...     F4
5     15     25     35     ...     A5     B5     ...     F5
6     16     26     36     ...     A6     B6     ...     F6
7     17     27     37     ...     A7     B7     ...     F7
8     18     28     38     ...     A8     B8     ...     F8
9     19     29     39     ...     A9     B9     ...     F9
A     1A     2A     3A     ...     AA     BA     ...     FA
B     1B     2B     3B     ...     AB     BB     ...     FB
C     1C     2C     3C     ...     AC     BC     ...     FC
D     1D     2D     3D     ...     AD     BD     ...     FD
E     1E     2E     3E     ...     AE     BE     ...     FE
F     1F     2F     3F     ...     AF     BF     ...     FF

 

alles

Übersicht

2-er 3-er 4-er …. …. 10-er 12-er 16-er  
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10111
11000
11001
11010
11011
11100
11101
11110
11111
100000
0
1
2
10
11
12
20
21
22
100
101
102
110
111
112
120
121
122
200
201
202
210
211
212
220
221
222
1000
1001
1002
1010
1011
1012
0
1
2
3
10
11
12
13
20
21
22
23
30
31
32
33
100
101
102
103
110
111
112
113
120
121
122
123
130
131
132
133
200
    0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
20
21
22
23
24
25
26
27
28
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E
1F
20
 

 

 

 

 

uebungen

 

Übungen zu den Zahlensystemen

Umrechnungen:

A. Dezimal in binär: 10-er in 2-er
B. Binär in dezimal: 2-er in 10-er
C. Hexadezimal in dezimal: 16-er in 10-er
D. Dezimal in Hexadezimal: 10-er in 16-er

A. Wie kann ich eine Zehnerzahl in eine Dualzahl umwandeln?

50

50 : 2 = 25, Rest 0
25 : 2 = 12, Rest 1
12 : 2 = 6,   Rest 0
6 : 2 = 3,     Rest 0
3 : 2 = 1,     Rest 1
1 : 2 = 0,     Rest 1

Die Dualzahl von 50 heisst also im Binärsystem: 110010

B. Wie kann ich eine Dualzahl (Binärzahl, Zweierzahl) in eine Zehnerzahl umwandeln?

1    1    0   0    1   0
25  24  23  22  21 20
32 16  8   4    2   1
= 1*32 + 1*16 + 0*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 = 50

C. Hexadezimalzahl16 in dezimal10  

FF132B16
=   B ⋅ 160  + 2 ⋅ 161 + 3 ⋅ 162 + 1 ⋅ 163      +  A ⋅ 164       + A ⋅ 165
=  11 ⋅ 160 + 2 ⋅ 161 + 3 ⋅ 162 + 1 ⋅ 163     + 15 ⋅ 164       + 15 ⋅ 165
=  11 ⋅ 1     + 2 ⋅ 16   + 3 ⋅ 256 + 1 ⋅ 4’096 + 15 ⋅ 65’536 + 15 ⋅ 1’048’576
= 11 + 32        +  768      + 4’096       + 983040        + 15’728’640
=  16’716’58710

D. Dezimal in Hexadezimal

555510 in eine Hexadezimale Zahl umwandeln:

zahlensysteme5a

Die hexadezimale Zahl heisst: 15B316

 

Weitere Übungen und Fragen

  1. Wie gross ist der Informationsgehalt einer 6-stelligen Binärzahl?

Maximal kann mit 6 Stellen die Zahl 111111 geschrieben werden.
Sie ist im Zehnersystem: 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 + der Wert 0 = 64

2.