Umstülpbarer Würfel von Paul Schatz

schatz wuerfel 5 meinstein.ch  schatz 4 wuerfel meinstein.ch

Der Paul-Schatz-Würfel ist ein wunderbares Objekt. Schauen wir uns ihn etwas an:

schatz umstülpbarer würfel

Das innere Stück herausgelöst lässt sich in wundersamer Weise umstülpen:

schatz wuerfel meinstein.chschatz 3 wuerfel meinstein.chschatz 2 wuerfel meinstein.ch

Unser Ziel ist es, dieses Gebilde zu berechnen.

Berechnung

Der Würfelring besteht aus 6 Körpern, von denen je 2 spiegelsymmetrisch sind.

Die 6 Körper bilden in der obigen Abbildung (links und rechts) eine gleichseitiges Dreieck:

umstülp umstülpbarer würfelumstülp umstülpbarer würfel

Es sei a die Würfelkante. Nun lassen sich alle anderen Stücke dieses gleichseitigen Dreiecks berechnen, indem wir die rechtwinklige Hälfte berechnen:

4a2 = h2 + a2
h2 = 3a2
h = wurzel (3a2) = a ⋅ wurzel (3)

umstülp umstülpbarer würfel umstülp umstülpbarer würfel

In der räumlichen Kantendarstellung ist einer dieser Drehkörper und die Kanten farbig herausgehoben:

b = 1/3 ⋅ h = a/3 ⋅ wurzel (3)
c = 2/3 ⋅ h = 2a/3 ⋅ wurzel (3)
d = wurzel (4/9 ⋅ h2 + 1/9 ⋅ h2) = wurzel (5/9⋅h2) = h/3⋅wurzel(5) = a⋅wurzel(3)/3⋅wurzel(5)
d = a ⋅ wurzel (15) / 3

umstülp9

Bastelbögen für die Herstellung eines solchen umstülpbaren Würfels samt Riegelkörper findet man im Internet bereitgestellt von Franz Zanek (www.fzk.at) Dabei empfiehlt es sich aber, die Einzelkörper auseinander zu schneiden und als “Scharniere” Stoffreste zu verwenden. Papier ist zu steif und geht schnell kaputt!