Trinome faktorisieren

Trinome sind mathematische Ausdrücke mit 3 Teilen; z.B. x+ 6x + 5

Wir kennen die folgende Termumformung (ausmultiplizieren)

(x + 5) – (x + 1) = x+ x + 5x + 5 = x+ 6x + 5

Dabei wird ein Term in der Produkteform in die Summenform umge-
wandelt. Wir wenden das Distibutivgesetz („Pöstlergesetz“) an.

x2 + 6x + 5

Ziel: Wir haben einen Term in der Summenform und möchten ihn in die
Produkteform umformen. In der Algebra nennt man dies Faktorisieren.

Lösung:

x2 + 6x + 5         =     (x + 5)(x + 1)
Summenform         Produkteform

Kontrolle:
(x + 5)(x + 1) = x+ x + 5x + 5 = x2 + 6x + 5

Wie geht man vor, um ein beliebiges Trinom zu faktorisieren?

Anleitung Schritt für Schritt: 

1. Schreibe zuerst den ursprünglichen Term und dann die Ausgangslage für das gesuchte Produkt!
x+ 10x + 21 = (x      ) (x      )

2. Bilde alle Zahlenpaare. deren Produkt gleich dem konstanten Glied des
Trinoms ist:
1⋅21
3⋅7
mehr gibt‘s nicht!

3. Um welchen Trinom-Typ handelt es sich?
Typ 1   x+ a x + b     (x +    ) ( x +    )
Typ 2   x+ a x – b      (x +    ) ( x –     )
Typ 3   x2 – a x – b       (x +    ) ( x –     )
Typ 4   x2 – a x + b      (x –    ) ( x –      )
Notiere nun daraus die korrekten Vorzeichen!
Ist es Typ 1, dann: (x +     ) (x +    ) und gehe zu 4a
Ist es Typ 2 oder 3, also (x +      ) (x –       ) dann gehe zu 4b
Ist es Typ 4, dann ( x –      ) (x –    ) dann gehe zu 4c

4a. Ist die Summe eines der Zahlenpaare gleich
dem Koeffizienten des linearen Trinomgliedes? Ja oder Nein?
Falls Ja: Notiere die Zahlen in der Lösung!
(x + 3)(x + 7)
Somit gilt also: x2 + 10x + 21 = (x + 3) (x + 7)
Falls Nein: nicht zerlegbar.

4b. Ist die Differenz zwischen zwei der Zahlen gleich dem linearen Glied,  Ja oder nein?
Ja: schreibe die richtige Lösung hin.
Nein: nicht zerlegbar.

4c. Ist die Summe eines der Zahlenpaare gleich
dem Koeffizienten des linearen Trinomgliedes? Ja oder Nein?
Falls Ja: Notiere die Zahlen in der Lösung!
Falls Nein: nicht zerlegbar.

 

Übungen mit Lösungen (unten)

  1. x2 + 10x + 25
  2. a2 + 16a + 48
  3. m2 – 13m + 42
  4. x2 – 4x – 32
  5. a2 – 14a + 49
  6. b2 – 3b – 28
  7. x2 – 7x – 18
  8. a2 +a – 30
  9. y2 + 2y -63
  10. b2 – 3b – 28
  11. a2 – 8a – 20
  12. b2 – 10b + 24
  13. c2 + 16c – 36
  14. d2 + 16d + 36
  15. e2 + 15e + 36

 

Lösungen

  1. (x + 5)(x + 5)
  2. (a + 12)(a + 4)
  3. (m – 7)(m – 6)
  4. (x – 8)(x + 4)
  5. (a – 7)(a – 7)
  6. (b – 7)(b + 4)
  7. (x – 9)(x + 2)
  8. (a – 5)(a + 6)
  9. (y – 7)(y + 9)
  10. (b + 4)(b – 7)
  11. (a + 2) (a – 10)
  12. (b – 4) (b – 6)
  13. (c + 18) (c – 2)
  14. nicht lösbar
  15. (e + 3) (e + 12)

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