Die Strahlensätze – Strahlensatz 1 2 3

Der Strahlensatz beschreibt Gesetzmässigkeiten der Streckenverhältnisse (Proportionen) von durch Parallelen (e und f) geschnittene Strahlen mit dem Strahlenzentrum S.

Formeln der drei Strahlensätze

1. Strahlensatz (nur Strahlenabschnitte)

Der erste Strahlensatz besagt, dass das Verhältnis a : (a + b) gleich gross ist wie c : (c + d).

formel erster strahlensatz

erster Strahlensatz

 

2. Strahlensatz (Strahlenabschnitte und Parallelenabschnitte)

Der zweite Strahlensatz besagt, dass das Verhältnis e : f gleich gross ist wie a : (a + b)

formel zweiter strahlensatz

zweiter strahlensatz

 

3. Strahlensatz (nur Parallelenabschnitte)

Der dritte Strahlensatz besagt, dass folgendes gilt (siehe Abbildung unten)
g : i = h : k
oder
g : (g + i) = h : (h + k)
oder
i : (g + i) = k : (h + k)

formel dritter strahlensatz

dritter strahlensatz

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

1. Berechne x und y.

Aufgabe 1 zum Strahlensatz meinstein.ch Berechnen von x

x / 12 = 24 / 20

beide Seiten mit 12 multiplizieren

x = 14.4

Berechnen von y

(y + 18) : 18 = (12 + 8) : 12

y + 18 = 30

y = 12

Beispiel 2

Es soll die Länge eines Sees (CE = x) bestimmt werden.

aufgabe2 zum Strahlensatz

Wir kennen:

a = 25m
b = 45m
c = 80m

 

 

Wir wenden den 2. Strahlensatz an:

x : (a + c) = b : a

um den Nenner zu entfernen und x zu isolieren, müssen beide Seiten mit (a + c) multipliziert werden. Also beide seiten mit 105m multiplizieren.

x = 45 · 105 : 25 = 189m

Die Seebreite ist also 189 Meter.

Weitere Aufgaben mit Lösungsweg

Aufgabe 1

Aufgabe zum Strahlensatz02

s1 = 3m
s2 = 17m
h1 = 1.8m

 

 

Lösung

Wir wenden den 1. Strahlensatz an, da nur die Strahlen betroffen sind.

Gesucht ist h2, also

h2/s2 = h1/s1

Wir multiplizieren beide Seiten mit s2, um h2 zu isolieren:

h2 = h1 · s2 : s1 = 1.8m · 17m : 3m = 10.2m

Die Tanne hat also eine Höhe h2 von 10.2 Meter.

Aufgabe 2

In der untenstehenden Aufgabe muss wieder eine Seebreite bestimmt werden.

Aufgabe zum strahlensatz03

Lösung

Folgende Verhältnisse der Hilfsstrecken sind nützlich (1. Strahlensatz):

x : 560 = 160 : 240

multipliziert mit 560m ist x isoliert:

x = 160 · 560 : 240 = 373.33m

Die Seebreite ist also 373m

Aufgabe 3

Weiter sollen im folgenden Schema b berechnet werden.

aufgabe1 zum Strahlensatz

Gegeben sind die Stücke:

a = 5 cm
c = 4 cm
d = 7 cm

Lösung

mit dem 1. Strahlensatz

a : c = (a + b) : (c + d)
5 : 4 = (5 + b) : 11

Um b zu isolieren, müssen beide Seiten mit 11 multipliziert werden:

5 + b = 5 · 11 : 4

b kann bestimmt werden, wenn noch auf beiden Seiten 5 subtrahiert wird:

b = 14 – 5 = 9

Aufgabe 4

Wie gross ist die Breite des Flusses, wenn c = 45m, b = 28m und d = 61m ist?

aufgabe 4 Strahlensatz

(a + c) : d = a : b

(a + 45) : 61 = a : 28

beide Seiten mit 61 und 28 multiplizieren

28 (a + 45) = 61a
28a + 1260 = 61a

auf beiden Seiten 28a subtrahieren

33a = 1260

a = 38.18m

Der Fluss hat eine Breite von 38.18m.

 

Aufgabe 5

aufgabe5 zum Strahlensatz

Folgende Verhältnisse können formuliert werden:

zwei staebe 1

Weiter:

zwei staebe 2

Einsetzen von (2) in (1)

zwei staebe 3

Werte einsetzen:

zwei staebe 4

Aufgabe 7

Die Spitzen der beiden Stäbe c und d in eine Linie gebracht, kann in der Verlängerung gerade die Turmspitze anvisiert werden. Wie hoch ist der Turm?

turm4 strahlensatz aufgabe

Gegeben:

a = 2m
b = 35m
c = 1.5m
d = 2.4m

Gesucht: h Turm

Diese Aufgabe lässt sich auf zwei Arten lösen.

a) Ziehen wir eine waagrechte Hilfslinie auf der Höhe des kleineren Stockes c, lässt sich leicht der 2. Strahlensatz anwenden:

(h – c) : (a + b) = (d – c) : a

eingesetzt:

(h – 1.5) : 37 = 0.9 : 2

Wir multiplizieren die Gleichung mit 37.

h – 1.5 = 37 · 0.9 : 2 = 16.65 m

Nun addieren wir die abgezogene Höhe c wieder dazu:

h = 18.15m

Die Turmhöhe ist h = 18.15m

b)