Pythagoras

Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten. 

c2 = a2 + b2

pythagoras2

Es gibt für den Pythagoras mehr als 100 Beweise.
Einer davon ist der folgende:

Die gesamte Quadratfläche beträgt (a + b)2
Sie ist zusammengesetzt aus dem Quadrat c2
und den vier rechtwinkligen Dreiecken ½ab zusammengesetzt.
Also:
(a + b)2 = c2 + 4⋅(½ab) = c2 + 2ab
a2 + 2ab + b2 =  c2 + 2ab   | – 2ab
a2 + b2 =  c2  (was zu beweisen war / quot erat demonstrandum)

pythagoras1

Anwendungen des Pythagoras

Berechnung der fehlenden Seite im rechtwinkligen Dreieck

rechtwinkliges dreieck

a2 + b2 = c2

Beispiel:

a = 3, b = 4, c = 5

32 + 42 = 52

Gegeben a und b

c2 = 9 + 16 = 25
c = 5

Gegeben a und c

25 = 9 + b2
b2 = 25 – 9 = 16
b = 4

Gegeben b und c

25 = a2 + 16
a2 = 25 – 16 = 9
a = 3

Allgemein

c2 = a2 + b2  
a2 = c2 – b2  
b2 = c2 – a2  

Übungen

  1. Berechne die Hypothenuse (Seite c) eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn
    a = 10cm und b = 15cm
  2. Berechne die Seite a eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn b = 3cm und c = 5cm
  3. Berechne die Quadratseite, wenn der Durchmesser 5cm ist.

Lösungen

c = 18.028cm

a = 4cm

a = d/√2 = 3.536cm

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