Prozentrechnung

Die Prozentrechnung ist eine der häufigsten Anforderungen für Schüler und Lehrlinge. Hier soll zuerst eine kurze Theorie über sie gegeben werden, am Schluss folgen Übungen mit Lösungen dazu.

1% ist der hundertste Teil des Ganzen (von 100%)
0.01 ist der hundertste Teil des Ganzen (von 1)

Die Dezimalzahlen 0,1, 0,5 oder 0,9 gibt einen Bruchteil eines Ganzen an. Eine Prozentangabe ist das 100-fache einer Dezimalzahl, mit einem Prozentzeichen dahinter. Oder umgekehrt: Eine Prozentangabe durch 100 geteilt ergibt die Dezimalzahl. Die folgenden Beispiele verdeutlichen dies:

Dezimalzahl in Prozentangabe umwandeln:

  • Kommazahl: 1,00 => 100%
  • Kommazahl: 0,99 => 99%
  • Kommazahl: 0,33 => 33%
  • Kommazahl: 0,00 => 0%

Es ist also ganz simpel: Die Kommazahl mit 100 multiplizieren ergibt die Prozentangabe.

Prozentangabe in Dezimalzahl wandeln:

  • Prozentzahl: 100%   => 1
  • Prozentzahl: 80%     => 0,8
  • Prozentzahl: 10%     => 0,1
  • Prozentzahl: 1%       => 0,01
  • Prozentzahl: 0%       => 0,00

Auch hier ist es eigentlich ganz simpel: Die Prozentangabe durch 100 dividieren ergibt die Dezimalzahl. Prozent heisst nichts anderes als Hundertstel.

Prozentsätze fürs Kopfrechnen

Bequeme Prozentsätze 1% 5% 10% 12.5% 20% 25% 33.333 % 50% 66.667 % 75%
Bruchdarstellung 1/100 1/20 1/10 1/8 1/5 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4
Dezimaldarstellung 0.01 0.05 0.1 0.125 0.2 0.25 0.333 0.5 0.667 0.75

Prozentrechnung: Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert

Prozentangaben verwendet man in der Prozentrechnung, um Anteile an etwas Ganzem anzugeben. Wir sehen uns dazu gleich einige Beispiele an. Davor ist es jedoch sinnvoll die Gleichungen und Begriffe zur Prozentrechnung einmal kurz zu behandeln. Zunächst einmal haben wir:

  • G” für den Grundwert (das Ganze)
  • p%” für den Prozentsatz (der Anteil in Prozent). 
  • W” für den Prozentwert (der Bruchteil des Ganzen)

Einführungs- und Demonstrationsbeispiel

Gegeben sind 5kg Mehl.
20% davon schenken wir dem Nachbar.

Erklärung Beispiel
Der Grundwert ist das Ganze und ist immer 100%. Z.B. seien 5kg Mehl 100%.
Der Prozentsatz ist der Anteil der 100% in Prozent angegeben Also z.B. 20% des gesamten Mehls (Grundwert).
Also 0.2 * 5kg = 1kg
Der Prozentwert ist der Bruchteil des Ganzen, also der Bruchteil Grundwertes. 20% ist also 1kg Mehl.

Drei mögliche Aufgabenstellungen

Je nach Aufgabenstellung ist gesucht:

  • der Grundwert
  • der Prozentwert
  • der Prozentsatz

Alle drei Typen werden gleich ausführlich besprochen.

Um diese gesuchten Angaben zu berechnen, setzt die in einer Aufgabe verfügbaren Informationen in diese Gleichungen ein:

prozent1

1. Typ: Prozentwert gesucht

Es wurde ein Bus gemietet um eine Gruppe von 50 Personen ins Theater zu fahren. Von diesen 50 Personen haben jedoch erst 30% die Fahrt bezahlt. Wie viele Personen haben bereits bezahlt?

Gegeben: 
Gruppe von 50 Personen (100%)
30% haben bezahlt.

Gesucht:
Wie viel sind 30% der Gruppe?

Gesetze: 

prozent2

Lösung: Dem Text entnehmen wir, dass G = 50 Personen sein muss. Der Prozentsatz ergibt sich zu p% = 30% und damit ist die Prozentzahl p = 30. Den Prozentwert W suchen wir. Mit diesen Angaben gehen wir in die Gleichung und erhalten den Prozentwert W = 15 Personen. Es haben somit erst 15 Personen die Fahrt bezahlt.

2. Typ: Prozentsatz gesucht

Beispiel: Ein Autohändler kauft ein Auto für 10’000 Euro. Zwei Monate später schafft er es dieses für 12’000 Euro wieder zu verkaufen. Wie viel Prozent Gewinn hat er damit erwirtschaftet?

Gegeben
Grundwert (100%) = 10’000 €
Prozentwert = 12’000 – 10’000 €

Gesucht
Prozentsatz (in %)

Gesetze: 

prozent3

Lösung: Wir entnehmen der Aufgabenstellung, dass G = 10’000 Euro ist. Ausserdem können wir W = 12’000 Euro – 10’000 Euro = 2’000 Euro ermitteln. Der Händler verkauft den Wagen somit 2’000 Euro teurer als er ihn eingekauft hat. Mit diesen Angaben gehen wir in die Gleichung und ermitteln die Prozentzahl zu p = 20 und den Prozentsatz zu p% = 20%. Also hat der Händler 20% Gewinn erwirtschaftet.

3. Typ: Grundwert gesucht

Beispiel: In einer Schule sind 420 Mädchen eingeschrieben. Dies sind 70% aller Schüler. Wie viele Schüler lernen in dieser Schule?

Gegeben:
Prozentwert = 420 Mädchen
Prozentsatz = 70%

Gesucht:
Grundwert

Gesetze: 

prozentrechnen Meinstein.ch

Lösung:
Die 420 Mädchen sind der Prozentwert W. Er entspricht einem Prozentsatz p% von 70% oder einem Anteil von 0.7. Der Prozentwert W kann direkt durch Anteil von 0.7 dividiert werden, und man erhält das Resultat. Wird der Prozentwert durch den Prozentsatz p% dividiert, muss er noch mit 100 multipliziert werden. Wir erhalten den Grundwert G = 600 Schüler.

Prozentuale Veränderungen

Verringert sich der Grundwert um einen bestimmten Prozentsatz, so spricht man von einem prozentualen Abschlag bzw. von einem verminderten Grundwert.

= G (100% – p%)

Vermehrt sich der Grundwert um einen bestimmten Prozentsatz, so spricht man von einem prozentualen Zuschlag bzw. einem vermehrten Grundwert.

G + = G (100% + p%)

Promillerechnung

Ein Promille vom Grundwert G ist ein Tausendstel von G.

Übungen mit Lösungen

Typ 1: Gesucht ist der Prozentwert

1. 40% von 130 €
2. 75% von 2.45m
3. 2% von 250 €
4. Ein Autoradio kostete normal 194 €. Nun kostet er noch 60% vom Normalpreis. Wie viel ist das?
5. 35% der Wählerschaft stimmte nein. Wie viele Menschen sind das, wenn 800‘000 abstimmen gingen?
6. Was ist mehr? 5% von 210 oder 6% von 201? Wie gross ist die Differenz?

Typ 2: Prozentsatz gesucht

1. Der Grundwert ist 200 Kilogramm Fisch. Wie viel Prozent sind 15 kg?
2. Wie viele Prozent sind 35 von 110?
3. 37‘000 Menschen gingen wählen. 14‘229 stimmten für Rudolf Merwick. Wie viele Prozent waren für ihn?

Typ 3: Gesucht ist der Grundwert

1. 18% der Schüler einer Schule belegen das Fach Latein. Das sind 36 Schülerinnen und Schüler. Wie gross ist die Schule (in Schülerzahl gemessen)?
2. Beim Kauf eines Computers erhalte ich 5% oder 41 € Ermässigung. Wie gross war der Preis des Computers.
3. 72% der Schüler bestanden den Test. 420 fielen durch. Wie viele Schüler machten den Test?

Gemischte Aufgaben

1. 1200 Einwohner leben in einem Dorf. 32% haben Kinder im Haushalt. Wie viele sind das?
2. Wenn 21kg 45% sind, wieviel ist dann 60%?
3. 19% der Bevölkerung mag kein Rindfleisch. 6‘784‘155 Einwohner essen es gerne. Wie viele Menschen mögen kein Rindfleisch?
4. In der Schweiz lebten im Jahre 2014 8‘136‘921 Menschen. Davon sind 37,9 % römisch-katholisch, 25,5 % evangelisch-reformiert, 23,0 % konfessionslos, 5,7 % andere christlichen Gemeinschaften, 5,1 % islamische Gemeinschaften, 1,6 % andere Religionsgemeinschaften, 1,2 % machten keine Angabe. Wie viele Menschen gehören zu einer christlichen Gemeinschaft? Wie gross ist die Zahl der Muslimen?

Mischungen und Legierungen

  1. Die Betglocke des Berner Münsters ist aus Bronze und hat eine Masse von 1428 kg. Sie besteht aus 81% Kupfer und 19% Zinn. Wie viel Kilogramm Kupfer und wie viel Kilogramm Zinn wurden gebraucht?
  2. Gusseisen hat einen Kohlenstoffgehalt von mindestens 2%. Wie viel Kohlenstoff ist in 1.2 Kilogramm Gusseisen mit einem Kohlenstoffgehalt von 2% vorhanden?
  3. Stahl hat weniger Kohlenstoff als Gusseisen. Ein nichtrostender Stahl enthalte 1.1% Kohlenstoff und 10.5% Nickel. Wie viel Nickel und wie viel Kohlenstoff enthält ein Werkstück von 4.5kg?
  4. Messing ist eine Legierung von Kupfer und Zink. Bei Gehalten über 36 % wird das Messing hellgelb bis fast weissgelb. Wie viel Messing kann aus 2.5kg Zink hergestellt werden, wenn die Legierung 58% Kupfer, 2% weitere Zusätze und den Rest Kupfer enthalten soll?
  5. Ein Amalgam ist in der Chemie eine Legierung des Quecksilbers. Früher (und z.T. auch heute noch) wurden Zähne mit Zahnamalgam repariert. Dieses enthält mindestens 40% Silber, maximal 32% Zinn, maximal 30% Kupfer, maximal 5% Indium, maximal 3% Quecksilber und maximal 2% Zink. Eine Füllung enthalte eben diese Prozentanteile. Wie viel Silber, Zinn, Kupfer, Indium, Quecksilber und Zink enthält eine Füllung von 3 Gramm?

 

Lösungen

Hier die Lösungen der Übungen in Prozentrechnung. Auf der verlinkten Seite ist die Theorie der Prozentrechnung erklärt und einzelne Grundaufgaben ausführlich durchgerechnet.

Typ 1: Gesucht ist der Prozentwert

1. 52€
2. 1.8375m
3. 5 €
4. 116.4 €
5. 280‘000 Menschen
6. 10.5 und 12.06. Differenz: 1.56

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Typ 2: Prozentsatz gesucht

1. 7.5%
2. 31.818182%
3. 38.4568%

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Typ 3: Gesucht ist der Grundwert

1. 200 SchülerInnen
2. 820 €
3. 1500 Schüler

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Gemischte Aufgaben

1. 384 EW
2. 28kg
3. 1‘591‘345 mögen kein Rindfleisch
4. Christen 69.1% sind 5‘622‘612 EW, Muslime 414‘983 EW

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Mischungen und Legierungen

  1. 81% Kupfer: 1156.68 kg und 19% Zinn: 271.32 Kg
  2. 24g oder 0.024kg Kohlenstoff
  3. Das Werkstück aus nichtrostendem Stahl enthält 49.5g Kohlenstoff und 675g Nickel.
  4. Es kann 6.25kg hellgelbes Messing hergestellt werden.
  5. 40% Silber sind 1.2g Silber, 32% Zinn sind 0.96g Zinn, 30% Kupfer sind 0.9g Kupfer, 5% Indium sind 0.15g Indium, 3% Quecksilber sind 0.09g Quecksilber und 2% Zink sind 0.06g Zink.

 

Hinweis: Die Prozentrechnung, Zinsrechnung und  Dreisatz hängen ganz eng zusammen.