Logarithmus einfach erklärt

Der Logarithmus ist die Zahl, mit der man eine andere Zahl (die Basis) potenzieren muss, um eine vorgegebene Zahl (den Numerus), zu erhalten.

Zahlenbeispiel

Allgemein

Beispiele

Anwendung des Logarithmus bei Exponentialgleichungen

Hier wird x im Exponent gesucht:

Genau gleich für die Exponentialgleichungen, bei denen x gesucht wird. Nur ist die x hier im Exponent!
Also:
2^x = 8
oder
4^x = 16

Diese einfachen Exponentialgleichungen kannst Du im Kopf lösen:
2³ = 8, denn 2⋅2⋅2 = 8
oder
4² = 16, denn 4⋅4 = 16

Noch einfacher ist der folgende Zusammenhang:
10^x = 1000
oder
10^x = 1’000’000
Sofort sehen wir, dass 10⋅10⋅10 = 1000, also 10³ = 1000
und gleich beim zweiten Beispiel: 10⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10 = 1’000’000, also 10⁶ = 1’000’000

Wie aber finden wir heraus, wie gross
10^x = 40 ist?
Wir wissen, dass
10¹ = 10 und
10² = 100.
Also müssen wir vermuten, dass für 10^x = 40 das x zwischen 1 und 2 liegt.

Mit Hilfe des Logarithmus können wir diese Rechnung lösen:
Wir logarithmieren die Gleichung. Was ist das genau?
Beim Logarithmieren wird jede Rechenoperation um eine Stufe erniedrigt:
Aus einer Potenz wird ein Faktor (eine Zahl, die multipliziert wird), aus einem Faktor wird ein Summand.
Wir führen es einfach mal am Beispiel 10^x = 40 durch:
Dann steht folgendes:
x ⋅ log 10 = log 40
Die Log-Taste findest du auf dem Rechner. Somit erhältst du:
x ⋅ 1 = … oder
x = . Wir prüfen nach, ob das stimmt:
10^1.602… = 40 (wenn du alle Stellen, die im Display angezeigt werden verwendest, dann ergibt das genau 40!)