Wozu Klammern setzen?
Klammern gruppieren Terme. Mit ihnen kann die Punkt–vor–Strich–Regel umgangen werden. Denn noch vor der Punktrechnung, also Multiplikationen, Divisionen und Potenzen, werden Klammern ausgerechnet.
Innerhalb von Klammern gilt allerdings wieder „Punkt vor Strich“. Als Klammern verwendet man gewöhnlich runde Klammern (…), aus Gründen der Übersicht kann man aber auch eckige […] oder geschweifte {…} verwenden. Zusammengehörende Klammern sollten aber nicht unterschiedlich sein, also nicht […).
( die einfache runde Klammer )
[ die eckige Klammer ]
{ die geschweifte Klammer }
Klammern werden geöffnet und danach wieder geschlossen und sind immer geschachtelt.
zum Beispiel: {[( … )( … ) + ( … )] + ( … )}
Klammerregeln
Klammern addieren und subtrahieren
Ein Plus (+) vor der Klammer: Beim Weglassen der Klammer verändert sich nichts in der Klammer!
a + (b + c) = a + b + c
a + (b – c) = a + b – c
a + (–b + c) = a – b + c
a + (–b – c) = a – b – c
Ein Minus (–) vor der Klammer: Beim Weglassen der Klammer müssen alle Vorzeichen in der Klammer umgekehrt werden!
a – (b + c) = a – b – c
a – (b – c) = a – b + c
a – (– b + c) = a + b – c
a – (– b – c) = a + b + c
Klammern (aus)multiplizieren und dividieren
Hier gelten die Regeln:
plus mal plus gibt plus
plus mal minus gibt minus
minus mal plus gibt minus
minus mal minus gibt plus
a (b + c) = ab + ac
a (b – c) = ab – ac
a (–b + c) = – ab + ac
a (–b – c) = – ab – ac
– a (b + c) = – ab – ac
– a (b – c) = – ab + ac
– a (–b + c) = + ab – ac
– a (–b – c) = + ab + ac
Beim Dividieren gelten die selben Regeln
plus durch plus gibt plus
plus durch minus gibt minus
minus durch plus gibt minus
minus durch minus gibt plus
Klammerausdrücke Schritt für Schritt gelöst
Ein Klammerausdruck könnte so aussehen:
= {3 · [–5 + 3] – 6 · [–3 + 2 · (5 + 3) – (2 – 7)] + 5}
Beginne mit der Auflösung von Klammern immer innen!
= 3 · [–5 + 3] – 6 · [–3 + 2 · 8 – ( – 5)] + 5
Steht ein Minus oder ein negativer Faktor vor der Klammer müssen beim Auflösen der Klammer alle Vorzeichen in der Klammer umgedreht werden:
= 3 · [–2] – 6 · [–3 + 16 + 5] + 5
= 3 · [–2] – 6 · [18] + 5
= –6 – 6 · 18 + 5
Punkt vor Strich beachten
= –6 – 108 + 5
= – 109
Ein zweites Beispiel vorgelöst
5 · [14 – (29 + 3) : (2² + 8 : 2)] – 10
Punkt vor Strich innerhalb der Klammern
= 5 · [14 – (29 + 3) : (4 + 4)] – 10
Addition der innersten Klammern
= 5 · [14 – 32 : 8] – 10
Punkt vor Strich in der äusseren Klammer
= 5 · [14 – 4] – 10
Strichrechnung in der äusseren Klammer
= 5 · 10 – 10
Punkt vor Strich
= 50 – 10
Strichrechnung:
= 40
Man kann allerdings auch nur runde Klammern verwenden. Also statt 5 · [14 – (1 + 3)] kann man auch 5 · (14 – (1 + 3)).
Übungen: Addition und Subtraktion
3 + (4 – 7) =
22 – (8 – 10) =
(3 – 15) + (12 – 4) =
– 4 + (–15 + 7) – (3 – 17) =
– 14 – (14) + 7 – (–7) =
(–2) – (+3) =
(– 4.2) – (–2.5) + (–7.7) – (+0.8) + (+5.2) =
Lösungen
3 + (4 – 7) = 0
22 – (8 – 10) = 20
(3 – 15) + (12 – 4) = 20
– 4 + (–15 + 7) – (3 – 17) = 2
– 14 – (14) + 7 – (–7) = 14
(–2) – (+3) = – 5
(– 4.2) – (–2.5) + (–7.7) – (+0.8) + (+5.2) = – 5
Übungen: Alle Operationen und Mehrfachklammern
– 85 + (– 18) – (– 14) =
[–7 – (–3)] : 2 =
– 5/8 : (–5) · 4/5 =
[–2 – (– 0.5)] · (– 0.4) =
– 4.8 · [– 2 : (– 0.4)] =
3 · (–5) + 4 (– 2) = –
[– 7 – (– 3)] : 2 =
–9 – [3 + (– 7)] =
3 · (–3)3 + (–3)4 =
[(3 – 4) · 5 – 6]2 =
{[4 – (3 – 2)] · 2 – 3 · 4}2 =
Lösungen
– 85 + (– 18) – (– 14) = – 89
[–7 – (–3)] : 2 = – 2
– 5/8 : (–5) · 4/5 = 1/10
[–2 – (– 0.5)] · (– 0.4) = 0.6
– 4.8 · [– 2 : (– 0.4)] = – 24
3 · (–5) + 4 (– 2) = –23
[– 7 – (– 3)] : 2 = –2
–9 – [3 + (– 7)] = –5
3 · (–3)3 + (–3)4 = 0
[(3 – 4) · 5 – 6]2 = 121
{[4 – (3 – 2)] · 2 – 3 · 4}2 = 36