Fibonacci und der goldene Schnitt

fibonacci und der goldene SchnittLeonardo Fibonacci

Leonardo da Pisa (1170 – 1250), auch Fibonacci genannt, war Mathematiker oder Rechenmeister in Pisa und gilt als der bedeutendste Mathematiker des Mittelalters. Bekannt sind heute vor allem die nach ihm benannten Fibonacci-Zahlen.

Kaninchenaufgabe

Fibonacci schrieb zwar über eine Vielzahl mathematischer Themen, doch ist er in erster Linie wegen der Zahlenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 … bekannt. Die Folge wurde später nach ihm benannt und ist heute noch Gegenstand reger Forschungstätigkeit. Eine beliebige Zahl dieser Folge ergibt sich durch die Addition der beiden vorhergehenden Zahlen: Fn = Fn-1 + Fn-2. Als Ausgangspunkte dienen F1 = 1 und F2 = 1. Ihren Ursprung hat diese Zahlenfolge in einem eher trivialen Problem, einer von vielen Rechenaufgaben, die Fibonacci in seinem Liber abaci behandelt: der sogenannten Kaninchenaufgabe. Bei Fibonacci selber ist allerdings die erste 1 der Folge nicht berücksichtigt.

“Wie viele Kaninchenpaare entstehen im Verlauf eines Jahres aus einem Paar? 
Ein Mann hielt ein Paar Kaninchen an einem Ort, der ringsum von einer Mauer umgeben war, um herauszufinden, wieviele Paare daraus in einem Jahr entstünden. Dabei ist es ihre Natur, jeden Monat ein neues Paar auf die Welt zu bringen, und sie gebären erstmals im zweiten Monat nach ihrer Geburt. Weil das obengenannte Paar schon im ersten Monat gebiert, kannst du es verdoppeln, so dass nach einem Monat zwei Paare da sind. Von diesen gebiert eines, d.h. das erste, im zweiten Monat wieder; und so gibt es im zweiten Monat 3 Paare. Von denen werden in einem Monat 2 wieder trächtig, so dass im dritten Monat zwei Kaninchenpaare geboren werden; und so sind es dann in diesem Monat 5 Paare. Von denen werden im selben Monat 3 trächtig, so dass es im vierten Monat 8 Paare sind. Von diesen gebären 5 Paare wieder 5 Paare; wenn man diese zu den 8 Paaren addiert, ergeben sich im fünften Monat 13 Paare. Von denen paaren sich die 5 Paare, die in diesem Monat geboren wurden, noch nicht im selben Monat, aber die anderen 8 Paare werden trächtig; und so sind es im sechsten Monat 21 Paare. Wenn man zu diesen die 13 Paare addiert, die im siebten Monat geboren werden, werden es in diesem Monat 34 Paare sein. Wenn man zu diesen die 21 Paare addiert, die im achten Monat geboren werden, werden es in diesem Monat 55 Paare sein. Wenn man zu diesen die 34 Paare addiert, die im neunten Monat geboren werden, werden es in diesem Monat 89 Paare sein. Wenn man zu diesen wiederum die 55 Paare addiert, die im zehnten Monat geboren werden, werden es in diesem Monat 144 Paare sein. Wenn man zu diesen wiederum die 89 Paare addiert, die im elften Monat geboren werden, werden es in diesem Monat 233 Paare sein. Und wenn man schliesslich zu diesen die 144 Paare addiert, die im letzten Monat geboren werden, sind es am Schluss 377 Paare. Und soviele Paare wird das obengenannte Paar an dem beschriebenen Ort am Ende eines Jahres auf die Welt gebracht haben. In der Abbildung hier am Rand kannst du sehen, wie wir das ausgerechnet haben, nämlich dass wir die erste Zahl mit der zweiten zusammengezählt haben, d.h. 1 mit 2; dann die zweite mit der dritten, die dritte mit der vierten, die vierte mit der fünften, und so weiter, bis wir die zehnte mit der elften zusammengezählt haben, d.h. 144 mit 233. Und so haben wir die Summe der obengenannten Kaninchenpaare, nämlich 377. Und so kannst du der Reihe nach weiterfahren für eine unbegrenzte Anzahl Monate.”

Fibonacci-Gesetzmässigkeiten bei den Pflanzen

Bei der einfachsten der wechselständigen Blattstellungen, der zweizeiligen, stehen die Blätter von oben gesehen in Winkeln von 180°. An den aufeinanderfolgenden Knoten stehen die Blätter also abwechselnd links und rechts. Diese Beblätterung finden wir bei vielen Einkeimblättrigen (Gräser, Schwertlilie, Lauch, Salomonssiegel). Unter den Zweikeimblättrigen sind es Ulmen, viele Schmetterlingsblütler, Hasel, Linde, Buche, u.a.

Wechselständige Blätter sind am Stängel stets in regelmässigen Mustern angeordnet, die am besten bei Betrachtung des Sprosses von oben zu erkennen sind. In den meisten Fällen wird deutlich, dass sie in Form einer Schraube angeordnet sind und dass zwischen aufeinanderfolgenden Blättern stets gleiche Winkel (Divergenzwinkel) messbar sind. Im einfachsten Fall – wie oben beschrieben – beträgt dieser Winkel 180°. Es kommen aber auch andere Winkel vor: 120 Grad (= 1/3 Vollkreis) oder 144 Grad (= 2/5, d.h. 5 Blätter verteilen sich auf zwei Vollkreise = 720 Grad : 5 Blätter) oder 135 Grad (=3/8, 8 Blätter auf drei Vollkreise) usw.

Vertreter Anzahl Blätter pro Umgang
(Divergenzbruch)
Winkel von Blatt zu Blatt
(Divergenzwinkel)
Lauch, Süssgräser, Iris
Weisser Germer, Sauergräser
Rose, Hasel
Aster, Plantago
Hauswurz, Pinus Zapfen
Grenzwinkel (für n= unendlich)
1/2
1/3
2/5
3/8
5/13
8/21(n-1)/(n+1)
180°
120°
144°
135°
138.5°
137°137.3°

Der Divergenzbruch, welcher die Blattstellung vieler Pflanzen beschreibt, nähert sich im Laufe der Reihe einem bestimmten Wert an: der Dezimalzahl 0,382. Diese wiederum entspricht genau dem Wert, den man erhält, wenn man eine Strecke nach dem goldenen Schnitt teilt. Dabei verhält sich das längere Teilstück zur Gesamtlänge genauso, wie das kürzere Stück zum längeren.

In Winkelgrade umgerechnet heisst das, dass ein Grenzwert, der bei etwa 137.3° liegt, erreicht wird, und der wiederum ist dafür bekannt, dass er einen Kreisbogen nach dem goldenen Schnitt teilt.

Der Vorteil regelmässiger Anordnung der Blätter liegt darin, eine möglichst hohe Lichtausbeute zu erreichen.

Der goldene Schnitt

Definition: Sei AB eine Strecke. Ein Punkt S von AB teilt AB im Goldenen Schnitt, falls sich die grössere Teilstrecke zur kleineren verhält wie die Gesamtstrecke zum grösseren Teil.

Der Punkt S teilt die Strecke im Goldenen Schnitt, falls gilt:

goldener1

 

 

 

 

goldener2

 

 

 

goldener3

Beispiele zum Goldenen Schnitt

In der Kunst

In der Architektur

In der Fotografie

Beim Design

In der Natur

Beim Menschen