Beweis, dass Wurzel 2 irrational ist

Irrationale Zahlen heissen so, weil sie nicht rational sind.
Rational bedeutet aber, dass eine Zahl nicht als Bruch dargestellt werden kann.
Mit einem sogenannten “indirekten Beweis” nehmen wir zuerst mal an, dass die Wurzel von 2 als Bruch a/b geschrieben werden kann. Dann zeigen wir, dass dies zu einem Widerspruch führt und die Annahme also falsch war.

Wurzel 2 = a / b a, b sind ganzzahlig und können nicht mehr weiter gekürzt werden (sie sind teilerfremd), weiter ist b ≠ 0
2 = a2 / b2  
2b2 = a2 d.h. a2 muss eine gerade Zahl sein, da 2b2 immer eine gerade Zahl ist.
  wenn aber a2 gerade ist, ist es auch a.
Folgende Überlegung:
a = 2k (die gerade a lässt sich als 2k darstellen)
a2 = 22k2 (quadriert)
a2 = 2 ( 2k2) (also ist auch a2 gerade)
a = 2r da wir wissen, dass a eine gerade Zahl ist, können wir a durch 2r ersetzen, wobei r eine ganze Zahl ist.
2b2 = (2r)2  
2b2 = 4r2  
b2 = 2r2 auch b muss eine gerade Zahl sein, weil 2r2 immer eine gerade Zahl ist.

Wenn jetzt aber sowohl a als auch b gerade Zahlen sind, so liessen sie sich kürzen, was wir aber ausgeschlossen haben. Insofern ist die Wurzel von 2 eine irrationale Zahl.

q.e.d.
quot erat demonstrandum
was zu beweisen war

 

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