Achilles und die Schildkröte

Das Paradoxon von Zenon von Elea –

Achilles und die Schildkröte ist ein Paradoxon von Zenon von Elea (495 – 430 v. Chr.). Der schnellfüssige Achilles (bekannt ist auch die Achillesferse, wo er am meisten verwundbar ist) soll einen Wettlauf mit der Schildkröte machen. Da Achill zehnmal schneller ist, gewährt er der Schildkröte einen Vorsprung von 100 Meter.

Bild Achilles und die Schildkröte

Mit folgender Überlegung wollte Zenon zeigen, dass Achill die Schildkröte nie einholen wird:

Wenn Achill bei 100m angekommen ist, befindet sich die Schildkröte bereits 10m weiter.
Wenn Achill bei 110m angekommen ist, befindet sich die Schildkröte bereits 1m weiter.
Wenn Achill bei 111m angekommen ist, befindet sich die Schildkröte bereits 0.1m weiter.
Wenn Achill bei 111.1m angekommen ist, befindet sich die Schildkröte bereits 0.01m weiter.
usw.
Wir sehen, dass sich daraus eine unendliche geometrische Reihe ergibt, die eine endliche Summe hat:

100 + 10 + 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + …. = 111.11111… m

Zenon wollte damit beweisen, dass Achill die Schildkröte nie einholen kann.

Einwand

Wenn wir die zurückgelegte Distanz dauernd durch 10 dividieren und damit kleinere Wegstrecken betrachten, übersehen wir, dass auch die Zeit kleiner wird. Die Läufer haben eine Geschwindigkeit, d.h. neben der Strecke spielt die Zeit eine Rolle. Verkleinert man die Strecke, verkleinert sich auch der Zeitabschnitt.
Die Zeit lässt sich jedoch nicht stoppen oder verlangsamen. Sie läuft weiter, und so passiert das, was wir alle bereits wissen: Achilles überholt die Schildkröte.
Er überholt sie an genau dem Ort, der durch die geometrische Reihe ermittelt worden ist: bei 111.111…m

Berechnung

Durch die Vorgaben: Achill ist 10-mal schneller als die Schildkröte und den gewährten Vorsprung von 100m können folgende Gleichungen erstellt werden:

y = 10x   (Achill)
y = x + 100m

Beide Gleichungen stellen Geradengleichungen dar, als Gleichungssystem können sie mit dem Gleichsetzungsverfahren gelöst werden:

10x = x + 100m
9x = 100m
x = 100m/9 = 11.111

eingesetzt in die erste Gleichung ergibt sich:

y = 10x = 111,111m

Weitere mögliche Aufgaben in Mathe:

Uhrzeiger-Aufgabe

Auf einer analogen Uhr ist es genau 4 Uhr. Wann holt der grosse Zeiger den kleinen ein?

Grosser Zeiger, Minutenzeiger: y = 12x
Kleiner Zeiger, Stundenzeiger: y = x + 20 Minuten

12x = x + 20 Minuten
11x = 20 Minuten
x = 20/11 Minuten = 1.181818…

Lösung: Der grosse Zeiger holt den kleinen in 21.1818 Minuten ein.

Querverweise: Gleichungssysteme, lineare Funktion

Interessante Abhandlung: http://community.zeit.de/user/wolframheinrich/beitrag/2009/08/19/zenon-achilles-und-die-schildkr%C3%B6te