Mit Minustürmen kann das schriftliche Subtrahieren geübt werden
Bei Minustürmen geht es darum, nach einer festen Anleitung (Rezept) möglichst viele Stockwerke bilden zu können, d.h. möglichst hohe Türme bauen zu können. Dabei kann spielerisch die schriftliche Subtraktion geübt werden.
Minustürme werden auch als Kaprekar Routine oder Kaprekar Prozess bezeichnet. Sie sind nach dem indischen Mathematiker D. R. Kaprekar benannt, der diese interessante mathematische Folge untersucht hat.
Anleitung zum Bau eines Minusturmes |
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Wähle drei Ziffernkarten.
Wenn das Ergebnis andere Ziffern hat, als am Anfang, gehe zurück zu Punkt 1 und befolge eine nächste Runde. Wenn das Ergebnis die gleichen Ziffern hat, wie die letzte Aufgabe, bist du am Ende der Rechnungen. |
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Untersuche…
… möglichst viele dreistellige Zahlen, die du mit den Ziffernkarten bildest. Jede Ziffer darf nur einmal vorkommen.
Beispiele von Minustürmen unterschiedlicher Höhe
Baue Minustürme aus möglichst vielen Zahlen.
Schaffst du es, mindestens je einen 1-stöckigen, einen 2-stöckigen, einen 3-stöckigen, einen 4-stöckigen und einen 5-stöckigen Turm zu bauen?
Hast du beim Rechnen Entdeckungen gemacht?
Schreibe alles auf, was dir auffällt beim Rechnen.
Weitere Untersuchungen von Minusturm-Aufgaben
Wie viele Startzahlen gibt es, wenn sie mit Ziffernkarten von 0-9 gebildet werden, d.h. wenn jede Ziffer nur einmal vorkommen darf? Eine Startzahl ist die Zahl, mit dem ein Minusturm gebildet wird.
Hier alle Zahlen mit 0 an der Hunderterstelle.
012 013 014 015 016 017 018 019
021 023 024 025 026 027 028 029
031 032 034 035 036 037 038 039
041 042 043 045 046 047 048 049
051 052 053 054 056 057 058 059
061 062 063 064 065 067 068 069
071 072 073 074 075 076 078 079
081 082 083 084 085 086 087 089
091 092 093 094 095 096 097 098
Diese Zahlen können weiter aufgeschrieben werden. Das könnt ihr nun selbst machen, oder die nachfolgende Datei nehmen.
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Hier alle Startzahlen als pdf.
Wie viele Startzahlen sind es nun insgesamt?
Wir rechnen aus. Die erste Zeile enthält alle Zahlen, die mit 01 beginnen. Es sind 8 Zahlen.
In dem Zahlenblock mit 0 an der Hunderterstelle hat es 9 Zeilen.
Also sind in einem Block 8 x 9 = 72 Zahlen.
Insgesamt gibt es so viele Blöcke, wie wir Ziffern verwendet haben, also 10 x 72 = 720 Zahlen.
Viele Zahlen führen zu gleichen Minustürmen.
Schauen wir uns die ersten paar Zahlen etwas kritisch an. Es fällt uns auf, dass z.B. 012 und 021 zum gleichen Minusturm führen. 720 Zahlen sind also zu viel…
Aus der Zahl 012 kann ich insgesamt 6 Zahlen mit gleichen Ziffern bilden:
012, 021
102, 120
201, 210
Beim Bauen eines Minusturmes brauche ich also nur die drei Ziffern, aus denen ich die grösste Zahl bilde und davon die kleinste abziehe.
Von 6 Zahlen muss ich also nur eine behalten.
Ich untersuche das Blatt mit den 720 Zahlen. Es fällt mir auf, dass ich die Zahlen nach einem bestimmten Muster löschen kann. Blau hinterlegt sind die Zahlen mit identischen 3 Ziffern.
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Es bleiben mir nun nur noch 120 Zahlen mit unterschiedlichen 3 Ziffern.
Startzahlen für 5-, 4-, 3-, 2- und 1-stöckige Türme.
Hier sind die Startzahlen für die verschiedenen Minusturm-Höhen:
1-stöckige Minustürme (Erreichen 495 nach 1 Schritt):
015, 025, 035, 045, 126, 136, 146, 156, 237, 247, 257, 267, 348, 358, 368, 378, 459, 469, 479, 489
2-stöckige Minustürme (Erreichen 495 nach 2 Schritten):
016, 026, 036, 046, 056, 127, 137, 147, 157, 167, 238, 248, 258, 268, 278, 349, 359, 369, 379, 389
3-stöckige Minustürme (Erreichen 495 nach 3 Schritten):
014, 017, 024, 027, 034, 037, 047, 057, 067, 125, 128, 135, 138, 145, 148, 158, 168, 178, 236, 239, 246, 249, 256, 259, 269, 279, 289, 347, 357, 367, 458, 468, 478, 569, 579, 589
4-stöckige Minustürme (Erreichen 495 nach 4 Schritten):
013, 018, 023, 028, 038, 048, 058, 068, 078, 124, 129, 134, 139, 149, 159, 169, 179, 189, 235, 245, 346, 356, 457, 467, 568, 578, 679, 689
5-stöckige Minustürme (Erreichen 495 nach 5 Schritten):
012, 019, 029, 039, 049, 059, 069, 079, 089, 123, 234, 345, 456, 567, 678, 789
Was können wir bei 3-stelligen Minustürmen entdecken?
- Die Zehnerziffer jeder Differenz ist immer 9.
- Die Summe aus der Hunderterziffer und der Einerziffer ist immer 9.
- Es sind nur folgende Ergebnisse möglich: 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891.
Die Ergebnisse sind immer Vielfache von 99! - Ab dem 2. Stockwerk sind die Hunderterziffern der Ergebnisse absteigend, die Einerziffern aufsteigend.
- Das „Endergebnis“ ist 495, dann wiederholt sich die letzte Rechnung 954-459=495.
- Es gibt höchstens 5 verschiedene Stockwerke (spätestens im 6. Stockwerk wiederholt sich die 495.)
- Die Stockwerke treten immer in der gleichen Reihenfolge auf.