Gleichungen der Altersrätsel finden und lösen
Altersrätsel sind Textgleichungsaufgaben, bei denen das Alter zweier oder mehr Personen zu verschiedenen Zeiten miteinander in Verbindung gebracht wird.
Altersrätsel 1
Frau Gerber ist heute doppelt so alt wie ihr Sohn Tom. Vor 10 Jahren war sie dreimal so alt wie dieser. Wie alt sind die beiden heute?
Lösung 1
Zuerst wird x festgelegt. Da heute Frau Gerber doppelt so alt ist wie Tom, setzen wir Tom heute gleich x und die Mutter Frau Gerber 2x.
| heute | vor 10 Jahren | |
| Tom | x | x – 10 |
| Frau Gerber | 2x | 2x – 10 |
Nun kommt die Überlegung, wie es vor 10 Jahren war: Wenn das Alter von Tom heute x ist, dann war sein Alter vor 10 Jahren x – 10.
Wenn das Alter von Mutter Gerber 2x ist, dann war ihr Alter vor 10 Jahren auch 2x – 10.
Nun kommt der 2. Satz der Aufgabe ins Spiel: Vor 10 Jahren war die Mutter dreimal so alt wie Sohn Tom.
Wir schreiben also als Gleichheit: Vor 10 Jahren war die Mutter 3-mal so alt wie der Sohn Tom:
2x – 10 = 3·(x – 10)
heisst übersetzt: Alter der Mutter vor 10 Jahren = 3 mal Alter des Sohnes Tom vor 10 Jahren
Lösung der Gleichung
| 2x – 10 | = | 3 · (x – 10) | Klammer ausmultiplizieren |
| 2x – 10 | = | 3x – 30 | alle x links, alle Zahlen rechts. +10 auf beiden seiten |
| 2x | = | 3x – 20 | -3x auf beiden Seiten |
| – x | = | – 20 | Vorzeichenwechsel auf beiden Seiten |
| x | = | 20 |
Also ist das Alter von Tom heute 20 und das der Mutter 40.
Vor 10 Jahren war sein Alter 10 und das der Mutter 30.
Altersrätsel 2
Frau Maier ist heute viermal so alt wie ihre Tochter Maike. In 4 Jahren wird sie nur noch dreimal so alt wie Maike sein. Wie alt ist Maike heute?
Lösung 2
Wieder erstellen wir eine Tabelle:
| heute | in 4 Jahren | |
| Maike | x | x + 4 |
| Frau Maier | 4x | 4x + 4 |
Wir bedienen uns wieder der Situation in 4 Jahren, wo die Mutter nur noch dreimal so alt sein wird wie die Tochter Maike.
4x + 4 = 3 · (x + 4)
übersetzt heisst dies wiederum:
das Alter der Mutter in vier Jahren ist gleich dem dreifachen Alter der Tochter in vier Jahren.
| 4x + 4 | = | 3 · (x + 4) | Klammer auflösen |
| 4x + 4 | = | 3x + 12 | ordnen. – 4 auf beiden Seiten |
| 4x | = | 3x + 8 | -3x auf beiden Seiten |
| x | = | 8 |
Heute ist Maike also 8, ihre Mutter Frau Meier 32.
In 4 Jahren wird Maike 12 Jahre alt sein, Frau Meier 36.
Altersrätsel 3
Herr Schmidt und sein Sohn Sascha sind zusammen 48 Jahre alt. In 4 Jahren wird Herr Schmidt dreimal so alt sein wir er. Wie alt sind die beiden heute?
Lösung 3
1) Lege fest wer x ist.
Aufgrund der Aufgabenstellung bietet es sich an, das Alter von Sascha mit der Variablen x zu versehen und das Alter von Herrn Schmidt in Beziehung zum Alter von Sascha zu setzen.
x = Alter von Sascha
2) Wandle den Text zuerst in eine Tabelle um:
| heute | in 4 Jahren | |
| Sascha | x | x + 4 |
| Herr Schmidt | 48 – x | 48 – x + 4 |
Mit den Angaben in 4 Jahren, wo der Vater dreimal älter sein wird wie Sascha, können wir die Gleichung aufstellen:
48 – x + 4 = 3 · (x + 4)
| 48 – x + 4 | = | 3 · (x + 4) | ausrechnen und Klammer auflösen |
| 52 – x | = | 3x + 12 | ordnen: – 12 |
| 40 – x | = | 3x | +x |
| 40 | = | 4x | :4 |
| x | = | 10 |
Sascha ist heute 10 Jahre alt. Herr Schmidt heute 38.
In vier Jahren ist Sascha 14 und sein Vater 42.
Weitere Altersrätsel
| 4 | Anna ist heute doppelt so alt, wie ihr Bruder Paul vor einem Jahr. In 3 Jahren wird Paul so alt sein, wie Anna heute. Wie alt ist Anna heute? |
| 5 | Der Vater von Lisa ist heute doppelt so alt, wie Lisa in 9 Jahren sein wird. In 2 Jahren wird er 4-mal so alt sein, wie Lisa heute. Wie alt ist der Vater heute? |
| 6 | Frau E. ist heute halb so alt, wie ihre Freundin Frau D. in 40 Jahren sein wird. Frau D ist heute 6-mal so alt, wie Frau E. vor 32 Jahren. Wie alt ist Frau D. heute? |
| 7 | Der Onkel von Sophia ist heute 3-mal so alt, wie Sophia in 3 Jahren und 6-mal so alt, wie Sophia vor 7 Jahren war. Wie alt ist der Onkel heute? |
| 8 | Der 38-jährige Herr G. hat 4 Kinder: Philipp, die Zwillinge Iris und Nina und Niklas. Die Zwillinge sind 3 Jahre jünger als Philipp und doppelt so alt, wie Niklas. Die 4 Kinder sind heute zusammen so alt, wie ihr Vater. Wie alt ist Philipp heute? |
| 9 | Frau B. ist heute 3-mal so alt, wie ihre Tochter Celina. In 5 Jahren wird sie 5-mal so alt sein, wie Celina vor 5 Jahren. Wie alt ist Frau B. heute? |
| 10 | Herr A. ist heute 4-mal so alt, wie sein Sohn Lukas. Vor 2 Jahren war er 6-mal so alt, wie Lukas vor 3 Jahren. Wie alt ist Lukas heute? |
| 11 | Die Freunde Felix, Fabian und Florian sind zusammen 48 Jahre alt. Felix ist heute doppelt so alt, wie Florian vor 7 Jahren. Florian hingegen ist heute 2/3 so alt, wie Felix vor 6 Jahren. Wie alt ist Fabian heute? Achtung: Diese Aufgabe ist nicht richtig lösbar! |
Lösungen der Altersrätsel 4 – 11
4: Anna ist heute 8 Jahre alt.
Alter von Paul in drei Jahren: x + 3
Alter von Anna heute: 2(x – 1)
Gleichung: x + 3 = 2(x – 1)
x = 5 (Alter von Paul heute). Alter von Anna heute: 2(5 – 1) = 8
5: Der Vater ist heute 38 Jahre alt
Alter von Lisa heute: x
Gleichung: 2(x + 9) + 2 = 4x
Lisa heute: 10 Jahre alt
6: Frau D ist heute 36
E = (D + 40)/2 (erste Information)
D = (E – 32) · 6 (zweite Information)
erste Gleichung vereinfachen (Nenner entfernen indem ich mit 2 multipliziere)
2E = (D + 40)
zweite Gleichung in erste eingesetzt:
2E = 6 (E – 32) + 40
Klammer auflösen
2E = 6E – 192 + 40
6E abziehen, mit (-1) multiplizieren und ausrechnen
4E = 192 – 40
4E = 152
E = 38 (E ist also heute 38 Jahre alt)
Nun setze ich E in die vereinfachte erste Gleichung ein:
2E = D + 40
76 = D + 40
D = 76 – 40 = 36 (E ist heute 36 Jahre alt)
7: Der Onkel ist heute 60 Jahre alt
x = Alter Onkel
y = Alter Sophia
3(y + 3) = 6(y – 7)
y = 17
8: Philipp ist heute 13
Herr G = 38 Jahre Alt
x = Alter Philipp
y = Alter Iris und Nina (Zwillinge)
z = Alter Niklas
y = x – 3 umgeformt x = y + 3
y = 2z aufgelöst nach z = ½ y
x + 2y + z = 38
Die Zwillinge sind 10 Jahre alt. Also ist Philipp 13 Jahre.
9: Frau B ist heute 45 Jahre alt.
B = Alter von Frau B heute
C = Alter von Celina heute
B = 3C (heute)
B + 5 = 5(C – 5) (in fünf Jahren)
Gleichung heute in Gleichung in 5 Jahren einsetzen:
C = 15, also ist B = 45 Jahre alt
10: Lukas ist heute 8 Jahre alt.
A = Alter Vater
L = Alter Lukas
heute: A = 4L
vor zwei Jahren: A – 2 = 6(L – 3)
Gleichung heute in Gleichung vor 2 Jahren einsetzen
L = 8, somit A = 32.
11. Diese Aufgabe ist nicht sinnvoll lösbar.
x = Felix, y = Fabian, z = Florian
x + y + z = 48
x = 2 (z – 7)
z = 2/3 (x – 6)
Das führt zu folgenden absurden bzw. falschen Altersangaben:
x=66, z=40y=-58