Aus Quader gebaute Körper – Aufgaben und Lösungen

Zusammengesetzte Körper zu berechnen ist einfach, doch es verlangt Geduld und Konzentration.

Beispiel 1: Würfel auf Quader

Berechnung der Oberfläche

Überlegung: Wir können die Oberfläche eines Quaders und dann eines Würfels berechnen. Dort, wo der Würfel auf dem Quader steht, wird einerseits beim Quader wie auch beim Würfel eine Fläche der Würfelseite abgedeckt.

Gegeben: a = 6cm, b = 1cm und c = 2cm

Quader Oberfläche: A_Q = 2ab + 2ac + 2bc

Würfel Oberfläche: A_W = 6c²

Abgedeckte Fläche: A_A = 2c²

Total Oberfläche = A_Q + A_W – A_A = 12cm² + 24cm² + 4cm² + 24cm² – 8cm² = 56cm²

Berechnung des Volumens

Volumen Quader: V_Q = abc = 12cm²
Volumen Würfel: V_W = c³ = 8cm³
Volumen insgesamt: V = 20cm³

Beispiel 2

Überlegung zur Oberfläche

Der Körper hat eine identische Vorder- und Rückseite. Sie kann in 4 Rechtecke zerlegt werden, wobei 2 davon identisch sind. Also
A₁ = 8cm · 3cm (mittlere Fläche) = 24cm²
A₂ = 2cm · 1.5cm (seitliche Flächen, kommen doppelt vor) 2A₂ = 6cm²
A₃ = 2cm · 1.5cm (untere Fläche) = 3cm²

A _Front = 33cm²
A _Hinterseite = 33cm²

   

Die restlichen Flächen haben alle die gleiche Höhe (nämlich hier 9cm). Sie können zu einem grossen Rechteck auseinandergefaltet werden:

A = 9cm (1.5 + 3 + 5 + 1.5 + 2 + 5 + 2 + 1.5 + 5 + 3 + 1.5 + 2)cm = 9cm ⋅ 33cm = 297cm²

Front, Rückseite und Manschette addiert:

A _Total = 33cm² + 33cm² + 297cm² = 363cm²

Überlegung zum Volumen

Der Körper hat eine Tiefe von 9cm. Das Volumen also erhalten wir, indem wir die Frontfläche mit der Tiefe multiplizieren.

V = A _Front ⋅ Tiefe = 33cm² ⋅ 9cm = 297cm³

Beispiel 3

Folgender Block hat zwei runde Löcher. Die Aussparungen sind Zylinder.

Höhe a = 5cm
Breite b = 4cm
Tiefe c = 6cm

Durchmesser Loch
d = 2cm

 

Überlegungen zur Oberfläche

Zuerst die Oberfläche des Quaders berechnen.
Abgezogen werden 4 Kreisflächen.
Dazu kommt die innere Oberfläche. Diese ist rechteckig (Tiefe c x Kreislinie).

Oberfläche Quader A _Quader = 148cm²

Kreisoberfläche A _Kreis = 3.14cm² (diese Fläche muss 4-Mal abgezogen werden).

Innere Oberfläche A _innere = 2cm  ⋅ 3.14 = 6.28cm² (diese Fläche gibt es zwei Mal).

Total A = A _Quader – 4 ⋅ A _Kreis + 2 ⋅ A _innere = 173.133cm²

Berechnung des Volumens

Vom Volumen des Quaders werden zwei Zylinder abgezogen.

V _Quader = 120cm³

V _Zylinder = 2 ⋅ 3.14 ⋅ 6cm = 37.699cm³

V _Total = 157.699 cm³