Grundbegriffe

Eine Variable ist ein Zeichen für ein Objekt aus einer Menge gleichartiger Objekte. Variablen werden meist durch Buchstaben dargestellt. Variablen werden nicht nur für Zahlen, sondern auch für andere mathematische Objekte (z.B. Fläche A, Steigung m oder Gerade g).

Ein Term ist eine sinnvolle mathematische Zeichenreihe ohne Relationszeichen (also zB. ohne = oder < oder >).

Beispiele von Termen:

• [7 * ( – 2 ) – (3 – 6)]²
• a² + b²
• sin(α)

Termumformungen: Zusammenfassen

ab + ab + ab = 3ab

da die Terme gleich sind, können sie addiert werden

2cd – 3cd + 4cd + cd =  4cd

gleichartige Terme und Vielfache davon können addiert und subtrahiert werden

4ab² + 4a²b + 2ab² – 3a²b = 6ab² + a²b

nur gleichartige Terme können addiert oder subtrahiert werden

Termumformungen: Addition und  Subtraktion unter Verwendung von Klammern

2 + (3 + 4) = 2 + 3 +4

2 – (3 + 4) = 2 + (-3 – 4) = 2 – 3 – 4 = – 5

ein Minus vor der Klammer wechselt alle Vorzeichen in der Klammer

(2 – 3) – (4 – 5) = + (2 – 3) + (-4 + 5) = 2 – 3 – 4 + 5  = 0

a – b – (c + d) = a – b + (-c – d) = a – b – c – d

Termumformungen: Multiplikation von Termen, z.B. Binomen

Binom: a + b

Trinom: a + b – c

Polynom: 4ab² + 4c²b + 2ad² – 3e²b

Ein Polynom wird mit einer Zahl oder einer Variablen multipliziert, indem jedes Glied des Polynoms (in der Klammer) mit dieser Zahl oder Variablen multipliziert wird.

x (4ab² + 4c²b + 2ad² – 3e²b) = 4ab²x + 4c²bx + 2ad²x – 3e²bx

Die Umkehrung des Ausmultiplizierens ist das Ausklammern:

4ab²x + 4c²bx + 2ad²x – 3e²bx = x (4ab² + 4c²b + 2ad² – 3e²b)

Gleiche Faktoren in einem Polynom können ausgeklammert werden.

Termumformungen: Multiplikation und Division

Zwei Polynome werden miteinander multipliziert, indem man jedes Glied des einen mit jedem Glied des anderen Polynoms multipliziert.

4ab² * 4a²b = 16a³b³

Jede Zahl und jede Variable wird mit seinesgleichen multipliziert

(a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd

(a – b) * (c – d) = ac – ad – bc + bd

Dabei müssen die Vorzeichen berücksichtigt werden.

12ab³c³ : 15abc = 3b²c² : 5

die Zahl wird durch die Zahl und jede Variable durch gleichartige geteilt.

Als Bruch geschrieben entspricht es einem Kürzen dieses Bruches.

Termumformungen: alle Rechenoperationen mit Klammern

[7 * ( – 2 ) – (3 – 6)]² = [-14 – 3 + 6]² = [-11]² = 121

von innen nach aussen rechnen

Binomische Formeln

1. binomische Formel:

(a + b)³ = (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²

2. binomische Formel:

(a – b)² = a² – 2ab + b²

3: binomische Formel:

(a + b)(a – b) = a² – ab + ab – b² = a² – b²