Geboren 1905, Dahanu, Indien

Gestorben 1986, Devlali, Indien

DR Kaprekar war ein indischer Mathematiker, der sich sein Wissen weitgehend selbst beigebracht hatte und auf dem Gebiet der Zahlentheorie arbeitete.

DR Kaprekar wurde in Dahanu geboren, einer Stadt an der Westküste Indiens, etwa 100 km nördlich von Mumbai. Er wurde von seinem Vater aufgezogen, nachdem seine Mutter starb, als er acht Jahre alt war. Sein Vater war ein Angestellter, der von Astrologie fasziniert war. Obwohl Astrologie keine tiefen Mathematikkenntnisse erfordert, erfordert sie doch beträchtliche Fähigkeiten im Rechnen, und Kaprekars Vater hat seinem Sohn sicherlich die Liebe zum Rechnen mitgegeben.

Kaprekar besuchte die weiterführende Schule in Thane ( manchmal auch Thana geschrieben ) , das nordöstlich von Mumbai liegt, aber so nah, dass es praktisch ein Vorort ist. Dort verbrachte er, wie schon seit seiner Jugend, viele glückliche Stunden mit dem Lösen mathematischer Rätsel. Er begann 1923 sein Hochschulstudium am Fergusson College in Pune . Dort zeichnete er sich aus und gewann 1927 den Wrangler RP Paranjpe Mathematical Prize . Dieser Preis wurde für die beste originelle mathematische Arbeit eines Studenten verliehen, und es ist sicherlich angemessen, dass Kaprekar ihn erhielt, da er in den zahlentheoretischen Fragen, die er sich ausdachte, stets große Originalität bewies. Er schloss sein Studium 1929 mit einem B.Sc. am College ab und wurde im selben Jahr als Mathematiklehrer in Devlali angestellt, einer Stadt ganz in der Nähe von Nashik, etwa 100 km östlich von Dahanu, seiner Geburtsstadt. Er unterrichtete seine gesamte Karriere in Devlali, bis er 1962 im Alter von 58 Jahren in den Ruhestand ging . Die Faszination für Zahlen, die Kaprekar schon als Kind hatte, hielt sein ganzes Leben lang an. Er war ein guter Lehrer, der seine Schüler mit seiner Liebe zu Zahlen motivierte, und wurde oft eingeladen, an örtlichen Colleges über seine einzigartigen Methoden zu sprechen. Er erkannte, dass er der Zahlentheorie verfallen war, und sagte über sich selbst:

Ein Trinker möchte weiterhin Wein trinken, um in diesem angenehmen Zustand zu bleiben. Dasselbe gilt für mich, soweit es die Zahlen betrifft.

Viele indische Mathematiker lachten über Kaprekars zahlentheoretische Ideen, da sie sie für trivial und unwichtig hielten. Es gelang ihm, einige seiner Ideen in einfachen Mathematikzeitschriften zu veröffentlichen, andere Arbeiten wurden jedoch privat als Broschüren mit Aufschriften wie „ Privat gedruckt, Devlali“ oder „Veröffentlicht vom Autor, Khareswada, Devlali, Indien“ veröffentlicht . Kaprekars Name ist heute wohlbekannt und viele Mathematiker sind fasziniert von den Ideen über Zahlen, die Kaprekar so fesselnd fand. Lassen Sie uns einige der Ideen betrachten, die er einführte.

Das vielleicht bekannteste Ergebnis Kaprekars ist das folgende, das sich auf die Zahl 6174 bezieht , die heute als Kaprekar-Konstante bezeichnet wird. Man beginnt mit einer beliebigen vierstelligen Zahl, bei der nicht alle Ziffern gleich sind. Angenommen, wir wählen 4637 ( das sind die ersten vier Ziffern der Telefonnummer von EFR! ) . Ordne die Ziffern so um, dass die größte und die kleinste Zahl mit diesen Ziffern entsteht, nämlich 7643 und 3467. Subtrahiere die kleinere von der größeren Zahl, um 4167 zu erhalten . Führe den Vorgang mit dieser Zahl fort: Subtrahiere 1467 von 7641 und du erhältst 6174 , die Kaprekar-Konstante. Versuche es noch einmal. Wähle 3743 ( das sind die letzten vier Ziffern von EFRs Telefonnummer! ) .

7433 – 3347 = 4086
8640 – 0468 = 8172
8721 – 1278 = 7443
7443 – 3447 = 3996
9963 – 3699 = 6264
6642 – 2466 = 4176
7641 – 1467 = 6174

Auch hier haben wir die Kaprekar-Konstante erhalten. Tatsächlich führt die Anwendung von Kaprekars Verfahren auf fast jede vierstellige Zahl nach höchstens 7 Schritten zu 6174 ( unser letztes Beispiel war also eines, bei dem das Verfahren die maximale Länge hatte ) . Kaprekar entdeckte dies erstmals 1946 und gab es 1949 auf der Madras Mathematical Conference bekannt . Er veröffentlichte das Ergebnis 1953 in dem Aufsatz „ Problems involving reversal of digits in Scripta Mathematica“ . Wenn man mit 1111 beginnt, erhält man bei Kaprekars Verfahren eindeutig 0. Tatsächlich ergibt das Kaprekar-Verfahren entweder 0 oder 6174. Genau 77 vierstellige Zahlen stabilisieren sich beim Kaprekar-Verfahren zu 0 , der Rest stabilisiert sich zu 6174. Interessierte können mit Zahlen mit mehr als 4 Ziffern experimentieren und sehen, ob sie sich zu einer einzigen Zahl ( ungleich 0) stabilisieren . Was ist mit anderen Eigenschaften von Ziffern, die Kaprekar untersucht hat? Eine Kaprekar-Nummer

NNist so, dassN2N2kann in zwei Teile aufgeteilt werden, so dass die beiden Teile zusammenNN. Zum Beispiel7032=4942097 0 32=4 9 4 2 0 9. Aber 494 + 209 = 703 . Beachten Sie, dass wir beim Teilen des Quadrats den rechten Teil mit 0 beginnen können . Zum Beispiel99992=99980001.BduT9998+0001=9999.9 9 9 92=9 9 9 8 0 0 0 1 . Aber 9 9 9 8​​+0 0 0 1=9 9 9 9 .Aus dieser Beobachtung geht natürlich hervor, dass es unendlich viele Kaprekar-Zahlen gibt ( 9 , 99 , 999 , 9999 usw. sind sicherlich alles Kaprekar-Zahlen ) . Die ersten paar Kaprekar-Zahlen sind:

1 , 9 , 45 , 55 , 99 , 297 , 703 , 999 , 2223 , 2728 , 4879 , 4950 , 5050 , 5292 , 7272 , 7777 , 9999 , 17344 , 22222 , 38962 , 77778 , 82656 , 95121 , 99999 , 142857 , 148149 , 181819 , 187110 , 208495 , …

Im Jahr 2000 wurde gezeigt , dass die Kaprekar-Zahlen in einer Eins-zu-eins-Entsprechung mit den Einheitsteilern von stehen.10N−11 0N−1 (XXist ein Einheitsteiler vonzzWennz=Xyz=x yWoXXUndyysind teilerfremd ) . Natürlich haben wir uns Kaprekar-Zahlen zur Basis 10 angesehen . Dasselbe Konzept ist für andere Basen gleichermaßen interessant. Ein Artikel von Kaprekar, der die Eigenschaften dieser Zahlen beschreibt, ist [ 3 ] .

Als nächstes beschreiben wir Kaprekars „Selbstzahlen“ oder „Swayambhu“ ( siehe [ 5 ] ) . Zuerst müssen wir beschreiben, was Kaprekar „Digitation“ nannte. Beginnen wir mit einer Zahl, sagen wir 23. Die Summe ihrer Ziffern ist 5 , die wir zu 23 addieren, um 28 zu erhalten . Wiederum addieren wir 2 und 8 , um 10 zu erhalten , die wir zu 28 addieren, um 38 zu erhalten . Weiter geht es mit der Folge

23 , 28 , 38 , 49 , 62 , 70 , …

Diese werden alle von 23 erzeugt . Aber wird 23 von einer kleineren Zahl erzeugt? Ja, 16 erzeugt 23. Tatsächlich beginnt die von uns betrachtete Sequenz bei 1

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 23 , 28 , 38 , 49 , 62 , 70 , …

Beginnen wir mit 29. Dann erhalten wir

29 , 40 , 44 , 52 , 59 , 73 , …

Aber 29 wird durch 19 erzeugt , die wiederum durch 14 erzeugt wird , die wiederum durch 7 erzeugt wird. 7 wird jedoch durch nichts erzeugt – es ist eine Selbstzahl. Die Selbstzahlen sind

1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 20 , 31 , 42 , 53 , 64 , 75 , 86 , 97 , 108 , 110 , 121 , 132 , 143 , 154 , 165 , 176 , 187 , 198 , 209 , 211 , 222 , 233 , 244 , 255 , 266 , 277 , 288 , 299 , 310 , 312 , 323 , 334 , 345 , …

Nun macht Kaprekar in [ 5 ] weitere Bemerkungen über Selbstzahlen . Er stellt beispielsweise fest, dass bestimmte Zahlen von mehr als einer Zahl erzeugt werden – diese nennt er Verbindungszahlen. Er weist darauf hin, dass 101 eine Verbindungszahl ist, da sie von 100 und 91 erzeugt wird . Er merkt an, dass es Zahlen mit mehr als 2 Generatoren gibt. Die möglichen Digitaditionsreihen werden in drei Typen unterteilt: Typ A hat alle seine Mitglieder, die zu 3 teilerfremd sind ; Typ B hat alle seine Mitglieder, die durch 3 , aber nicht durch 9 teilbar sind ; Typ C hat alle seine Mitglieder, die durch 9 teilbar sind . Kaprekar stellt fest, dass wenn x und y vom gleichen Typ sind ( das heißt, jedes zu 3 prim ist, oder jedes durch 3 , aber nicht durch 9 teilbar , oder jedes durch 9 teilbar), dann stimmen ihre Digitaditionsreihen ab einem bestimmten Punkt überein. Er vermutete, dass eine Digitaditionsreihe nicht mehr als 4 aufeinanderfolgende Primzahlen enthalten kann.

Die Referenzen [ 4 ] und [ 6 ] befassen sich mit „Demlo-Zahlen“. Wir werden diese Zahlen nicht definieren, weisen aber darauf hin, dass der Name von dem Bahnhof stammt, an dem er 1923 auf der Strecke Bombay–Thane umstieg , als er auf die Idee kam, Zahlen dieses Typs zu untersuchen.

Als letzten Zahlentyp, den wir betrachten und der von Kaprekar untersucht wurde, betrachten wir die Harshad-Zahlen ( aus dem Sanskrit für „große Freude“ ) . Dies sind Zahlen, die durch die Summe ihrer Ziffern teilbar sind. Daher müssen 1 , 2 , …, 9 Harshad-Zahlen sein, und die nächsten sind

10 , 12 , 18 , 20 , 21 , 24 , 27 , 30 , 36 , 40 , 42 , 45 , 48 , 50 , 54 , 60 , 63 , 70 , 72 , 80 , 81 , 84 , 90 , 100 , 102 , 108 , 110 , 111 , 112 , 114 , 117 , 120 , 126 , 132 , 133 , 135 , 140 , 144 , 150 , 152 , 153 , 156 , 162 , 171 , 180 , 190 , 192 , 195 , 198 , 200 , …

Es fällt auf, dass 80 und 81 zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind, die beide Harshad-Zahlen sind, während 110 , 111 und 112 drei aufeinanderfolgende Zahlen sind, die alle Harshad-Zahlen sind. 1994 wurde bewiesen , dass nicht 21 aufeinanderfolgende Zahlen alle Harshad-Zahlen sein können. Es sind 20 aufeinanderfolgende Harshad-Zahlen möglich, aber man muss zu Zahlen größer als10443633427861 04 4 3 6 3 3 4 2 7 8 6 bevor eine solche Folge gefunden wird. Eine weitere interessante Eigenschaft ist, dass 2 !, 3 !, 4 !, 5 !, … allesamt Harshad-Zahlen sind. Man könnte vermuten, dassN!N !ist eine Harshad-Zahl für jedesNN– Dies wäre jedoch falsch. Die kleinste Fakultät, die keine Harshad-Zahl ist, ist 432 !.

Die Selbstzahlen, die ebenfalls Harshad-Zahlen sind, sind:

1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 20 , 42 , 108 , 110 , 132 , 198 , 209 , 222 , 266 , 288 , 312 , 378 , 400 , 468 , 512 , 558 , 648 , 738 , 782 , 804 , 828 , 918 , 1032 , 1098 , 1122 , 1188 , 1212 , 1278 , 1300 , 1368 , 1458 , 1526 , 1548 , 1638 , 1704 , 1728 , 1818 , 1974 , 2007 , 2022 , 2088 , 2112 , 2156 , 2178 , …

Beachten Sie, dass 2007 ( das Jahr, in dem dieser Artikel geschrieben wurde ) sowohl eine Selbstzahl als auch eine Harshad-Zahl ist. Harshad

-Zahlen für andere Basen als 10 sind ebenfalls interessant und wir können fragen, ob eine Zahl für jede Basis eine Harshad-Zahl ist. Es gibt nur vier solcher Zahlen: 1 , 2 , 4 und 6. Wir haben uns eine ganze Weile Zeit genommen, um uns

eine Auswahl verschiedener von Kaprekar untersuchter Zahleneigenschaften anzusehen. Lassen Sie uns abschließend noch ein paar biografische Details anführen. Wir haben oben erklärt, dass er 1962 im Alter von 58 Jahren in Rente ging . Leider starb seine Frau 1966 und danach stellte er fest, dass seine Rente nicht zum Leben ausreichte. Man muss sich bewusst machen, dass dies trotz der Tatsache geschah, dass Kaprekar so billig wie möglich lebte und nur daran interessiert war, seine wachen Stunden mit Experimenten mit Zahlen zu verbringen. Er war gezwungen, Privatunterricht in Mathematik und Naturwissenschaften zu geben, um genug Geld zum Überleben zu verdienen. Wir haben gesehen, wie Kaprekar während seines Lebens verschiedene Zahleneigenschaften erfand. Er war jedoch nicht sehr bekannt, obwohl viele seiner Arbeiten in Mathematical Reviews besprochen wurden . Internationalen Ruhm erlangte er erst 1975 , als Martin Gardener in seiner Kolumne „Mathematical Games“ in der Märzausgabe von Scientific American über Kaprekar und seine Zahlen schrieb .