Altersrätsel leicht gemacht

Gleichungen finden und Rätsel lösen

Altersrätsel sind Textgleichungsaufgaben, bei denen das Alter zweier oder mehr Personen zu verschiedenen Zeiten miteinander in Verbindung gebracht wird.

Altersrätsel 1

Frau Gerber ist heute doppelt so alt wie ihr Sohn Tom. Vor 10 Jahren war sie dreimal so alt wie dieser. Wie alt sind die beiden heute?

Lösung 1

Zuerst wird x festgelegt. Da heute Frau Gerber doppelt so alt ist wie Tom, setzen wir Tom heute gleich x und die Mutter Frau Gerber 2x.

heute vor 10 Jahren
Tom x x – 10
Frau Gerber 2x 2x – 10

Nun kommt die Überlegung, wie es vor 10 Jahren war: Wenn das Alter von Tom heute x ist, dann war sein Alter vor 10 Jahren x – 10.
Wenn das Alter von Mutter Gerber 2x ist, dann war ihr Alter vor 10 Jahren auch 2x – 10.

Nun kommt der 2. Satz der Aufgabe ins Spiel: Vor 10 Jahren war die Mutter dreimal so alt wie Sohn Tom.

Wir schreiben also als Gleichheit: Vor 10 Jahren war die Mutter 3-mal so alt wie der Sohn Tom:

2x – 10 = (x – 10)
heisst übersetzt: Alter der Mutter vor 10 Jahren = 3 mal Alter des Sohnes Tom vor 10 Jahren

Lösung der Gleichung

2x – 10  3·(x – 10) Klammer ausmultiplizieren
2x – 10 = 3x – 30 alle x links, alle Zahlen rechts. 
+10 auf beiden seiten
2x = 3x – 20 -3x auf beiden Seiten
– x = – 20 Vorzeichenwechsel auf beiden Seiten
20

Also ist das Alter von Tom heute 20 und das der Mutter 40.
Vor 10 Jahren war sein Alter 10 und das der Mutter 30.

Altersrätsel 2

Frau Maier ist heute viermal so alt wie ihre Tochter Maike. In 4 Jahren wird sie nur noch dreimal so alt wie Maike sein. Wie alt ist Maike heute?

Lösung 2

Wieder erstellen wir eine Tabelle:

heute in 4 Jahren
Maike x x + 4
Frau Maier 4x 4x + 4

Wir bedienen uns wieder der Situation in 4 Jahren, wo die Mutter nur noch dreimal so alt sein wird wie die Tochter Maike.

4x + 4 = 3 · (x + 4)

übersetzt heisst dies wiederum:
das Alter der Mutter in vier Jahren ist gleich dem dreifachen Alter der Tochter in vier Jahren.

4x + 4 = 3 · (x + 4) Klammer auflösen
4x + 4 = 3x + 12 ordnen. – 4 auf beiden Seiten
4x = 3x + 8 -3x auf beiden Seiten
x = 8

Heute ist Maike also 8, ihre Mutter Frau Meier 32.
In 4 Jahren wird Maike 12 Jahre alt sein, Frau Meier 36.

Altersrätsel 3

Herr Schmidt und sein Sohn Sascha sind zusammen 48 Jahre alt. In 4 Jahren wird Herr Schmidt dreimal so alt sein wir er. Wie alt sind die beiden heute?

Lösung 3

1) Lege fest wer x ist.
Aufgrund der Aufgabenstellung bietet es sich an, das Alter von Sascha mit der Variablen x zu versehen und das Alter von Herrn Schmidt in Beziehung zum Alter von Sascha zu setzen.

x = Alter von Sascha

2) Wandle den Text zuerst in eine Tabelle um:

heute in 4 Jahren
Sascha x x + 4
Herr Schmidt 48 – x 48 – x + 4

Mit den Angaben in 4 Jahren, wo der Vater dreimal älter sein wird wie Sascha, können wir die Gleichung aufstellen:

48 – x + 4 = 3 · (x + 4)

48 – x + 4 = 3 · (x + 4) ausrechnen und Klammer auflösen
52 – x = 3x + 12 ordnen: – 12 
40 – x = 3x +x
40 = 4x :4
10

Sascha ist heute 10 Jahre alt. Herr Schmidt heute 38.
In vier Jahren ist Sascha 14 und sein Vater 42.

Weitere Altersrätsel

4 Anna ist heute doppelt so alt, wie ihr Bruder Paul vor einem Jahr. In 3 Jahren wird Paul so alt sein, wie Anna heute. Wie alt ist Anna heute? 
5 Der Vater von Lisa ist heute doppelt so alt, wie Lisa in 9 Jahren sein wird. In 2 Jahren wird er 4-mal so alt sein, wie Lisa heute. Wie alt ist der Vater heute? 
6 Frau E. ist heute halb so alt, wie ihre Freundin Frau D. in 40 Jahren sein wird. Frau D ist heute 6-mal so alt, wie Frau E. vor 32 Jahren. Wie alt ist Frau D. heute?
7 Der Onkel von Sophia ist heute 3-mal so alt, wie Sophia in 3 Jahren und 6-mal so alt, wie Sophia vor 7 Jahren war. Wie alt ist der Onkel heute?
8 Der 38-jährige Herr G. hat 4 Kinder: Philipp, die Zwillinge Iris und Nina und Niklas. Die Zwillinge sind 3 Jahre jünger als Philipp und doppelt so alt, wie Niklas. Die 4 Kinder sind heute zusammen so alt, wie ihr Vater. Wie alt ist Philipp heute?
9 Frau B. ist heute 3-mal so alt, wie ihre Tochter Celina. In 5 Jahren wird sie 5-mal so alt sein, wie Celina vor 5 Jahren. Wie alt ist Frau B. heute?
10 Herr A. ist heute 4-mal so alt, wie sein Sohn Lukas. Vor 2 Jahren war er 6-mal so alt, wie Lukas vor 3 Jahren. Wie alt ist Lukas heute?
11 Die Freunde Felix, Fabian und Florian sind zusammen 48 Jahre alt. Felix ist heute doppelt so alt, wie Florian vor 7 Jahren. Florian hingegen ist heute 2/3 so alt, wie Felix vor 6 Jahren. Wie alt ist Fabian heute?
Achtung: Diese Aufgabe ist nicht richtig lösbar!

Lösungen der Altersrätsel 4 – 11

4: Anna ist heute 8 Jahre alt.
Alter von Paul in drei Jahren: x + 3
Alter von Anna heute: 2(x – 1)
Gleichung: x + 3 = 2(x – 1)
x = 5 (Alter von Paul heute). Alter von Anna heute: 2(5 – 1) = 8
5: Der Vater ist heute 38 Jahre alt
Alter von Lisa heute: x
Gleichung: 2(x + 9) + 2 = 4x
Lisa heute: 10 Jahre alt
6: Frau D ist heute 72
E = 2(D + 40)
D = 1/6 (E – 32)
erste Gleichung in zweite eingesetzt: D = 1/6 (2D + 80 – 32)
D = 72
7: Der Onkel ist heute 60 Jahre alt
x = Alter Onkel
y = Alter Sophia
3(y + 3) = 6(y – 7)
y = 17

8: Philipp ist heute 13
Herr G = 38 Jahre Alt
x = Alter Philipp
y = Alter Iris und Nina (Zwillinge)
z = Alter Niklas
y = x – 3 umgeformt x = y + 3
y = 2z aufgelöst nach z = ½ y
x + 2y + z = 38
Die Zwillinge sind 10 Jahre alt. Also ist Philipp 13 Jahre.
9: Frau B ist heute 45 Jahre alt.
B = Alter von Frau B heute
C = Alter von Celina heute
B = 3C (heute)
B + 5 = 5(C – 5) (in fünf Jahren)
Gleichung heute in Gleichung in 5 Jahren einsetzen:
C = 15, also ist B = 45 Jahre Alt
10: Lukas ist heute 8 Jahre alt.
A = Alter Vater
L = Alter Lukas
heute: A = 4L
vor zwei Jahren: A – 2 = 6(L – 3)
Gleichung heute in Gleichung vor 2 Jahren einsetzen
L = 8, somit A = 32.
11. Diese Aufgabe ist nicht sinnvoll lösbar.
x = Felix, y = Fabian, z = Florian
x + y + z = 48
x = 2 (z – 7)
z = 2/3 (x – 6)
Das führt zu folgenden absurden bzw. falschen Altersangaben:
x=66, z=40y=-58