Gleichungen der Altersrätsel finden und lösen

Altersrätsel sind Textgleichungsaufgaben, bei denen das Alter zweier oder mehr Personen zu verschiedenen Zeiten miteinander in Verbindung gebracht wird.

Altersrätsel 1

Frau Gerber ist heute doppelt so alt wie ihr Sohn Tom. Vor 10 Jahren war sie dreimal so alt wie dieser. Wie alt sind die beiden heute?

Lösung 1

Zuerst wird x festgelegt. Da heute Frau Gerber doppelt so alt ist wie Tom, setzen wir Tom heute gleich x und die Mutter Frau Gerber 2x.

	heute	vor 10 Jahren
Tom	x	x – 10
Frau Gerber	2x	2x – 10

Nun kommt die Überlegung, wie es vor 10 Jahren war: Wenn das Alter von Tom heute x ist, dann war sein Alter vor 10 Jahren x – 10.
Wenn das Alter von Mutter Gerber 2x ist, dann war ihr Alter vor 10 Jahren auch 2x – 10.

Nun kommt der 2. Satz der Aufgabe ins Spiel: Vor 10 Jahren war die Mutter dreimal so alt wie Sohn Tom.

Wir schreiben also als Gleichheit: Vor 10 Jahren war die Mutter 3-mal so alt wie der Sohn Tom:

2x – 10 = 3·(x – 10)
heisst übersetzt: Alter der Mutter vor 10 Jahren = 3 mal Alter des Sohnes Tom vor 10 Jahren

Lösung der Gleichung

2x – 10	=	3·(x – 10)	Klammer ausmultiplizieren
2x – 10	=	3x – 30	alle x links, alle Zahlen rechts.  +10 auf beiden seiten
2x	=	3x – 20	-3x auf beiden Seiten
– x	=	– 20	Vorzeichenwechsel auf beiden Seiten
x	=	20

Also ist das Alter von Tom heute 20 und das der Mutter 40.
Vor 10 Jahren war sein Alter 10 und das der Mutter 30.

Altersrätsel 2

Frau Maier ist heute viermal so alt wie ihre Tochter Maike. In 4 Jahren wird sie nur noch dreimal so alt wie Maike sein. Wie alt ist Maike heute?

Lösung 2

Wieder erstellen wir eine Tabelle:

	heute	in 4 Jahren
Maike	x	x + 4
Frau Maier	4x	4x + 4

Wir bedienen uns wieder der Situation in 4 Jahren, wo die Mutter nur noch dreimal so alt sein wird wie die Tochter Maike.

4x + 4 = 3 · (x + 4)

übersetzt heisst dies wiederum:
das Alter der Mutter in vier Jahren ist gleich dem dreifachen Alter der Tochter in vier Jahren.

4x + 4	=	3 · (x + 4)	Klammer auflösen
4x + 4	=	3x + 12	ordnen. – 4 auf beiden Seiten
4x	=	3x + 8	-3x auf beiden Seiten
x	=	8

Heute ist Maike also 8, ihre Mutter Frau Meier 32.
In 4 Jahren wird Maike 12 Jahre alt sein, Frau Meier 36.

Altersrätsel 3

Herr Schmidt und sein Sohn Sascha sind zusammen 48 Jahre alt. In 4 Jahren wird Herr Schmidt dreimal so alt sein wir er. Wie alt sind die beiden heute?

Lösung 3

1) Lege fest wer x ist.
Aufgrund der Aufgabenstellung bietet es sich an, das Alter von Sascha mit der Variablen x zu versehen und das Alter von Herrn Schmidt in Beziehung zum Alter von Sascha zu setzen.

x = Alter von Sascha

2) Wandle den Text zuerst in eine Tabelle um:

	heute	in 4 Jahren
Sascha	x	x + 4
Herr Schmidt	48 – x	48 – x + 4

Mit den Angaben in 4 Jahren, wo der Vater dreimal älter sein wird wie Sascha, können wir die Gleichung aufstellen:

48 – x + 4 = 3 · (x + 4)

48 – x + 4	=	3 · (x + 4)	ausrechnen und Klammer auflösen
52 – x	=	3x + 12	ordnen: – 12
40 – x	=	3x	+x
40	=	4x	:4
x	=	10

Sascha ist heute 10 Jahre alt. Herr Schmidt heute 38.
In vier Jahren ist Sascha 14 und sein Vater 42.

Weitere Altersrätsel

4	Anna ist heute doppelt so alt, wie ihr Bruder Paul vor einem Jahr. In 3 Jahren wird Paul so alt sein, wie Anna heute. Wie alt ist Anna heute?
5	Der Vater von Lisa ist heute doppelt so alt, wie Lisa in 9 Jahren sein wird. In 2 Jahren wird er 4-mal so alt sein, wie Lisa heute. Wie alt ist der Vater heute?
6	Frau E. ist heute halb so alt, wie ihre Freundin Frau D. in 40 Jahren sein wird. Frau D ist heute 6-mal so alt, wie Frau E. vor 32 Jahren. Wie alt ist Frau D. heute?
7	Der Onkel von Sophia ist heute 3-mal so alt, wie Sophia in 3 Jahren und 6-mal so alt, wie Sophia vor 7 Jahren war. Wie alt ist der Onkel heute?
8	Der 38-jährige Herr G. hat 4 Kinder: Philipp, die Zwillinge Iris und Nina und Niklas. Die Zwillinge sind 3 Jahre jünger als Philipp und doppelt so alt, wie Niklas. Die 4 Kinder sind heute zusammen so alt, wie ihr Vater. Wie alt ist Philipp heute?
9	Frau B. ist heute 3-mal so alt, wie ihre Tochter Celina. In 5 Jahren wird sie 5-mal so alt sein, wie Celina vor 5 Jahren. Wie alt ist Frau B. heute?
10	Herr A. ist heute 4-mal so alt, wie sein Sohn Lukas. Vor 2 Jahren war er 6-mal so alt, wie Lukas vor 3 Jahren. Wie alt ist Lukas heute?
11	Die Freunde Felix, Fabian und Florian sind zusammen 48 Jahre alt. Felix ist heute doppelt so alt, wie Florian vor 7 Jahren. Florian hingegen ist heute 2/3 so alt, wie Felix vor 6 Jahren. Wie alt ist Fabian heute? Achtung: Diese Aufgabe ist nicht richtig lösbar!

Lösungen der Altersrätsel 4 – 11

4: Anna ist heute 8 Jahre alt.
Alter von Paul in drei Jahren: x + 3
Alter von Anna heute: 2(x – 1)
Gleichung: x + 3 = 2(x – 1)
x = 5 (Alter von Paul heute). Alter von Anna heute: 2(5 – 1) = 8

5: Der Vater ist heute 38 Jahre alt
Alter von Lisa heute: x
Gleichung: 2(x + 9) + 2 = 4x
Lisa heute: 10 Jahre alt

6: Frau D ist heute 72
E = 2(D + 40)
D = 1/6 (E – 32)
erste Gleichung in zweite eingesetzt: D = 1/6 (2D + 80 – 32)
D = 72

7: Der Onkel ist heute 60 Jahre alt
x = Alter Onkel
y = Alter Sophia
3(y + 3) = 6(y – 7)
y = 17

8: Philipp ist heute 13
Herr G = 38 Jahre Alt
x = Alter Philipp
y = Alter Iris und Nina (Zwillinge)
z = Alter Niklas
y = x – 3 umgeformt x = y + 3
y = 2z aufgelöst nach z = ½ y
x + 2y + z = 38
Die Zwillinge sind 10 Jahre alt. Also ist Philipp 13 Jahre.

9: Frau B ist heute 45 Jahre alt.
B = Alter von Frau B heute
C = Alter von Celina heute
B = 3C (heute)
B + 5 = 5(C – 5) (in fünf Jahren)
Gleichung heute in Gleichung in 5 Jahren einsetzen:
C = 15, also ist B = 45 Jahre alt

10: Lukas ist heute 8 Jahre alt.
A = Alter Vater
L = Alter Lukas
heute: A = 4L
vor zwei Jahren: A – 2 = 6(L – 3)
Gleichung heute in Gleichung vor 2 Jahren einsetzen
L = 8, somit A = 32.

11. Diese Aufgabe ist nicht sinnvoll lösbar.
x = Felix, y = Fabian, z = Florian
x + y + z = 48
x = 2 (z – 7)
z = 2/3 (x – 6)
Das führt zu folgenden absurden bzw. falschen Altersangaben:
x=66, z=40y=-58

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