Wachstum und Zerfall – mathematisch betrachtet

Hier werden Wachstum und Zerfall möglichst einfach erklärt und mit Aufgaben erläutert und erklärt.

Das Wachstum ist Vermehrung eines Bestandes. Wenn du jeden Monat 100 Euro Taschengeld bekommst und es nicht ausgibst, dann wächst dein Vermögen linear (arithmetisch) an:

0, 100, 200, 300, …

Das Gegenteil vom Wachstum ist die Schrumpfung, das Negativwachstum oder der Zerfall. Bei einem Guthaben von 1000 Euro zahlst du jeden Monat 100 Euro Miete. Dann nimmt dein Guthaben folgendermassen ab:

1000, 900, 800, …

Arithmetisches Wachstum

Arithmetisches Wachstum kann aber auch variiert werden. Hier zuerst noch einmal eine ganz einfache Folge:

Folge 1 2 3 4
Differenz 1 1 1

Die Differenz zwischen den Gliedern ist konstant.
Somit haben wir eine arithmetische Folge 1. Ordnung vor uns.

Hier eine arithmetische Folge, bei der die Differenz nicht konstant ist:

Folge 1 2 4 7 11
erste Differenz 1 2 3 4
zweite Differenz 1 1 1

Bei dieser Folge ist die Differenz nicht konstant. Sie wächst von Glied zu Glied an. Berechnen wir aber die Differenz der Wachstumssprünge, dann finden wir wieder Konstanz. Wir haben es hier von einer arithmetischen Folge 2. Ordnung zu tun.

In der gleichen Weise können wir das Wachstum der nächsten Ordnung finden:

Folge 1 2 4 8 15 26 42 64
erste Differenz 1 2 4 7 11 16 22
zweite Differenz 1 2 3 4 5 6
dritte Differenz 1 1 1 1 1

Berechnung der arithmetischen Folge ersten Grades:

allgemeines Glied an = a1 + d ⋅ (n – 1)

d Differenz zwischen zwei Gliedern
n Anzahl Glieder
a1 Anfangsglied

Beispiel:

Berechne das 12. Glied der Folge

10, 20, 30, …

d = 10
a1 = 10
n = 12

an = 10 + 10 ⋅ (12 – 1) = 120

Geometrisches Wachstum

Beim geometrischen Wachstumsprozess gibt es eine Wachstumsrate. Diese wird mit dem Startwert multipliziert.

Beispiel:

Folge 1 2 4 8 16 32
Quotient q 2 2 2 2 2
1 ⋅ 21
1 ⋅ 22
1 ⋅ 23
1 ⋅ 24
1 ⋅ 25
an = a1 ⋅ qn-1

Der Quotient q, mit der ein Glied multipliziert werden muss, um zum nächsten Glied zu kommen, ist hier 2.

Das allgemeine Glied an dieser Folge heisst also:

an = 1 ⋅ 2 n-1

und für jede geometrische Folge:

an = a1 ⋅ qn-1

Varianten von Aufgaben: 

Gegeben n, a1, q
Gesucht an
an = a1 ⋅ q n-1
in die Formel einsetzen

Gegeben an, n und q
Gesucht a1
an = a1 ⋅ q n-1
nach a1 auflösen:
a1 = an  / qn-1

Gegeben: an, a1, q
Gesucht: n
an = a1 ⋅ q n-1
nach qn-1 auflösen, dann logarithmieren und dann nach n auflösen
qn-1 = an / a1
(n – 1) ⋅ log q  = log an – log a1
n – 1 = (log an – log a1) / log q
n =  (log an – log a1) / log q + 1

Gegeben: an, n, a1
Gesucht: q
an = a1 ⋅ q n-1
nach q n-1 auflösen, dann logarithmieren und dann nach q auflösen
(n – 1) ⋅ log q  = log an – log a1
log q = (log an – log a1) / (n – 1)

 

Übungen

  1. Finde die nächsten zwei Glieder folgender Folgen:
Aufgabe
a 15 42 69 96
b 99 92.5 86 79.5 73
c 11 14 22 35 53
d 8 15 26 47 84
e 7 28 112 448
f 10 15 22.5 33.75

 

  1. Finde das 27. Glied (n = 27) der obigen Folgen a und b:
  1. Von einer arithmetischen Folge 1. Ordnung sei folgendes gegeben. Finde alle fehlenden Stücke.
a1 a2 an an-1 n d
a) 14 17.6 2065 2061.5 56 3.5
b) 15 21 99 93 15 6
c) 14 16 122 120 55 2
d) 310 300 0 10 32 -10

 

Aufgabe c) an = a1 + d ⋅ (n – 1)
a1 = an  – d ⋅ (n – 1) = 14

Aufgabe d) an = a1 + d ⋅ (n – 1)
d ⋅ (n – 1) = an – a1
(n – 1) = (an – a1) / d
n = ((an – a1) / d) + 1 = 32

 

  1. Berechne den Logarithmus von

a) 10‘000

b) 10‘000‘000

c) 5

d) 1014

e) 1005

 

  1. Gib die allgemeine Gleichung an für das Glied an der geometrische Folge.

und für jede geometrische Folge:

 

  1. Berechne x:

a) 2x = 128

b) x4 = 81

c) 10x = 500

d) 45 = x

e) 2x = 10

  1. Ein Bakterium teile sich jede Stunde einmal. Es beginnt mit einem Bakterium. Wie viele hat es in drei Tagen?
  1. Ein Bakterium teile sich jede Stunde einmal. Du beginnst mit einem Bakterium. Wie lang brauchst Du, um 5 Milliarden Bakterien zu züchten?

 

Lösungen

  1. Finde die nächsten zwei Glieder folgender Folgen:
Aufgabe
a 15 42 69 96 123 150
Differenz 27 27 27 27 27
b 99 92.5 86 79.5 73 66.5
Differenz -6.5 -6.5 -6.5 -6.5 -6.5
c 11 14 22 35 53 76
Differenz 3 8 13 18 23
d2 5 5 5 5
d 8 15 26 47 84 143
Differenz 7 11 21 37 59
d2 4 10 16 22
d3 6 6 6 6
e 7 28 112 448 1792 7168
q 4 4 4 4 4
f 10 15 22.5 33.75 50.625 75.9375
q 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5

 

  1. Finde das 27. Glied (n = 27) der obigen Folgen a und b:

an = a1 + d ⋅ (n – 1)

  1. a) a1 = 15, d = 27, n = 27

a27 = 15 + 27 ⋅ (27 – 1)

a27 =

  1. b) a1 = 99, d = – 6.5, n = 27

a27 = 99 + (-6.5) ⋅ (27 – 1)

a27 =

 

  1. Von einer arithmetischen Folge 1. Ordnung sei folgendes gegeben. Finde alle fehlenden Stücke.
a1 a2 an an-1 n d
a 14 17.6 2065 2061.5 56 3.5
b 15 21 99 93 15 6
c 14 16 122 120 55 2
d 310 300 0 10 32 -10

 

Aufgabe c) an = a1 + d ⋅ (n – 1)
a1 = an  – d ⋅ (n – 1) = 14

Aufgabe d) an = a1 + d ⋅ (n – 1)
d ⋅ (n – 1) = an – a1
(n – 1) = (an – a1) / d
n = ((an – a1) / d) + 1 = 32

 

  1. Berechne den Logarithmus von
  2. a) 10‘000
  3. b) 10‘000‘000
  4. c) 5

log 5 = 0.69897

  1. d) 1014

log 1014  = 14

  1. e) 1005

100 ∙ 100 ∙ 100 ∙ 100 ∙ 100 = 102 ∙ 102 ∙ 102 ∙ 102 ∙ 102 = 102+2+2+2+2 = 1010 = 10‘000‘000‘000

 

  1. Gib die allgemeine Gleichung an für das Glied an der geometrische Folge.

und für jede geometrische Folge:

an = a1 ⋅ qn-1

  1. Berechne x:
  2. a) 2x = 128
    wir logarithmieren:
    x ∙ log 2 = log 128
    x = log 128 / log 2 = 7
  3. b) x4 = 81
    4 ∙ log x = log 81
    log x = log 81 / 4
    x = 3
  4. c) 10x = 500
    x log 10 = log 500
    x = log 500 / log 10
    x = 2.6989
  5. d) 45 = x
    1024
  6. e) 2x = 10
    x log2 = log10
    x = log10 / log2 = 3.32
  7. Ein Bakterium teile sich jede Stunde einmal. Es beginnt mit einem Bakterium. Wie viele hat es in drei Tagen?

272 = x
x = 4.7 ∙ 1021

  1. Ein Bakterium teile sich jede Stunde einmal. Du beginnst mit einem Bakterium. Wie lang brauchst Du, um 5 Milliarden Bakterien zu züchten?

2x = 5‘000‘000‘000
x log2 = log 5000000000
x = log 5000000000 / log2 = 32.2
Ich brauche einen Tag, 8 Stunden und 12 Minuten.