Zahlenmengen

Zahlen können in sogenannte Zahlenmengen gruppiert werden.

 

 

natuerliche

Menge der natürlichen Zahlen

N = {1, 2, 3, 4, 5, … }

Die natürlichen Zahlen benutzen wir im Alltag (“mit den Fingern”), um Gegenstände zu zählen. Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. (Manchmal wird die 0 auch dazugerechnet, dann bezeichnet man sie als N0.)

Veranschaulichung auf dem Zahlenstrahl:

Zahlenstrahl2

Man kann die natürlichen Zahlen auf verschiedene Art einteilen, z.B. gerade Zahlen (Ng) und ungerade Zahlen (Nu), Primzahlen (P) und zusammengesetzte Zahlen.
(Jede natürliche Zahl kann eindeutig als Produkt von Primzahlen geschrieben werden, z.B. 60 = 2•2•3•5)

Wenn wir zwei natürliche Zahlen addieren oder multiplizieren, ist das Ergebnis wieder eine natürliche Zahl. Subtraktion ist nicht immer möglich (z.B. 7 – 10 = ?). Daher erweitern wir die natürlichen Zahlen zur

ganze

Menge der ganzen Zahlen

Z = { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

Veranschaulichung auf der Zahlengeraden:

zahlengerade

Innerhalb der ganzen Zahlen ist die Addition, Subtraktion und Multiplikation uneingeschränkt möglich, die Division nicht unbedingt (z.B. 2 : 3 = ?). Wir nehmen daher auch die Brüche (Quotienten zweier ganzer Zahlen) dazu und erhalten so die

rationale

Menge der rationalen Zahlen

(Menge aller Brüche von der Form p/q, wobei p und q ganze Zahlen sind und q nicht 0 ist.)
(Die Bezeichnung “rational” kommt von lat. ratio: Verhältnis, weil man einen Bruch auch als Verhältnis zwischen zwei ganzen Zahlen auffassen kann. Die ganzen Zahlen sind rationale Zahlen mit dem Nenner 1.)
Die rationalen Zahlen liegen auf der Zahlengeraden zwischen den ganzen Zahlen:

zahlenstrahl-rationale-zahlen

Jede rationale Zahl kann als endliche oder periodische Dezimalzahl geschrieben werden.

Zwischen zwei Zahlen haben immer noch unendlich viele weitere rationalen Zahlen Platz – man sagt, die rationalen Zahlen liegen “dicht” auf der Zahlengeraden. Trotzdem gibt es dazwischen noch unendlich viele irrationale Zahlen (unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen)!
(Beweis, dass v2 keine rationale Zahl ist).

Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen die

reelle

Menge der reellen Zahlen

Die Menge R besteht aus allen Punkten der Zahlengeraden, so auch die bekannten Werte wie Pi (π), Wurzel (2), Wurzel (3) oder die Eulersche Zahl e.

Zahlen, deren Dezimalbrüche nicht abbrechend und nicht periodisch (regelmässig) sind, nennt man irrationale Zahlen. Hier ein klassischer indirekter Beweis, dass Wurzel von 2 irrational ist.

Reelle_Zahlen

In R können wir jetzt uneingeschränkt addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren (außer durch 0) und Wurzeln ziehen, mit einer Ausnahme:
Weil das Quadrat einer reellen Zahl immer positiv ist, hat eine Gleichung wie z.B. x² = -1 keine reelle Lösung. Wenn wir solche Gleichungen auch lösen wollen, müssen wir den Zahlenbereich ein letztes Mal erweitern zur

komplexe

Menge der komplexen Zahlen

Wir definieren die imaginäre Einheit i durch i² = -1.
C = {a + bi | a, b mathematisches-zeichen-element-vonR}
(Menge aller Zahlen von der Form a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind)
i ist nicht auf der Zahlengeraden darstellbar.

Grafik

Zusammenfassung der Zahlenmengen

Als Mengen dargestellt sieht das so aus:

zahlenmengen

 

  • Die Menge der Natürlichen Zahlen N sind Element der Menge der Ganzen Zahlen.
  • Die Menge der Ganzen Zahlen Z sind Element der Rationalen Zahlen.
  • Die Menge der Rationalen Zahlen Q sind Element der Reellen Zahlen.
  • Die Menge der Reellen Zahlen R sind Element der Komplexen Zahlen.

uebungen

Übungen

Die Zahl 2 gehört zu mehreren Zahlenmengen. Zu welchen?

Zu welchen Zahlenmengen gehören die Zahlen 0.5, 0, wurzel(3)? Gib alle möglichen Zahlenmengen an!

Entscheide, ob wahr oder falsch (zu Zahlenmengen)

  1. Für jede natürliche Zahl gibt es eine natürliche Zahl, die doppelt so gross ist.
  2. Es gibt keine grösste natürliche Zahl.
  3. Ist die Summe zweier ganzer Zahlen gerade, so ist es auch ihre Differenz.
  4. Das Produkt aus zwei geraden Wurzeln ist immer eine gerade Zahl.
  5. 5 gehört nicht zu den rationalen Zahlen (5 ist nicht Element von Q)
  6. Für jede natürliche Zahl gibt es eine natürliche Zahl, die doppelt so gross ist.
  7. Ist die Summe zweier ganzer Zahlen gerade, so ist es auch ihre Differenz.
  8. Alle Differenzen von zwei natürlichen Zahlen sind natürliche Zahlen.
  9. Es gibt Quotienten von zwei natürlichen Zahlen, die irrational sind.
  10. Alle Quotienten von zwei rationalen Zahlen sind rationale Zahlen.
  11. Alle Wurzeln aus natürlichen Zahlen sind irrationale Zahlen
  12. Es gibt irrationale Zahlen, deren 1000-faches eine rationale Zahl ist.
  13. Die Wurzel aus jeder Quadratzahl ist eine natürliche Zahl
  14. Das Quadrat einer irrationalen Zahl ist eine irrationale Zahl.
  15. Es gibt Wurzeln aus negativen Zahlen, die rationale Zahlen sind.
  16. Es gibt unendlich viele Zahlen zwischen 0.1 und 1/9.
  17. 1,8 und wurzel (1.8) liegen beide zwischen 2 und wurzel (2).
  18. 1 + wurzel (2) ist eine irrationale Zahl, deren Quadrat irrational bleibt.
  19. Es gibt unendlich viele irrationalen Zahlen, deren Quadrat irrational bleibt.
  20. Es gibt unendlich viele Zahlen, deren Wurzel grösser als die Zahl selber ist.
  21. Es gibt unendlich viele Zahlen, deren Wurzel grösser als die Zahl selber ist.
  22. Es gibt unendlich viele Zahlen, deren Wurzel gleich der Zahl selber ist.
  23. Es gibt unendlich viele Zahlen, deren Wurzel kleiner als die Zahl selber ist.

 

Lösungen

Für jede natürliche Zahl gibt es eine natürliche Zahl, die doppelt so gross ist. Wahr. 5 und 10, 1 Mio und 2 Mio….

Es gibt keine grösste natürliche Zahl. Wahr. Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen

Ist die Summe zweier ganzer Zahlen gerade, so ist es auch ihre Differenz. Richtig

Das Produkt aus zwei geraden Wurzeln ist immer eine gerade Zahl. Falsch. wurzel (2) * wurzel (4)

5 gehört nicht zu den rationalen Zahlen (5 ist nicht Element von Q). Falsch. 5/1

Für jede natürliche Zahl gibt es eine natürliche Zahl, die doppelt so gross ist. Wahr.

Ist die Summe zweier ganzer Zahlen gerade, so ist es auch ihre Differenz. Wahr

Alle Differenzen von zwei natürlichen Zahlen sind natürliche Zahlen.

Falsch, denn z.B. 4-6 = -2 und -2 ist keine natürliche Zahl

Es gibt Quotienten von zwei natürlichen Zahlen, die irrational sind.

Falsch, denn nach der Definition sind alle Quotienten natürlicher Zahlen rational

Alle Quotienten von zwei rationalen Zahlen sind rationale Zahlen.

Falsch, denn 0 gehört zu den rationalen Zahlen. Im Nenner ergibt sich keine rationale Zahl. Es müsste zuvor 0 ausgeschlossen werden.

Alle Wurzeln aus natürlichen Zahlen sind irrationale Zahlen

Falsch: Gegenbeispiel: Wurzel (4) = 2

Es gibt irrationale Zahlen, deren 1000-faches eine rationale Zahl ist.

Falsch: Die Zahlen nach dem Komma bleiben nichtperiodisch und nicht abbrechend

Die Wurzel aus jeder Quadratzahl ist eine natürliche Zahl

Richtig

Das Quadrat einer irrationalen Zahl ist eine irrationale Zahl.

Falsch. Wurzel 2 im Quadrat gibt 2.

Es gibt Wurzeln aus negativen Zahlen, die rationale Zahlen sind.

Falsch: aus negativen Zahlen kann gar nicht die Wurzel gezogen werden.

Es gibt unendlich viele Zahlen zwischen 0.1 und 1/9.

Wahr. Z.B. 0.11 oder 0.111 oder 0.1111 oder 0.10546 etc

1,8 und wurzel (1.8) liegen beide zwischen 2 und wurzel (2).

Falsch: Wurzel (1.8) ist kleiner als Wurzel (2).

1 + wurzel (2) ist eine irrationale Zahl, deren Quadrat irrational bleibt.

Wahr

Es gibt unendlich viele irrationalen Zahlen, deren Quadrat irrational bleibt.

Wahr

Es gibt unendlich viele Zahlen, deren Wurzel grösser als die Zahl selber ist.

Wahr

Es gibt unendlich viele Zahlen, deren Wurzel grösser als die Zahl selber ist.

Wahr, für alle Zahlen zwischen 0 und 1

Es gibt unendlich viele Zahlen, deren Wurzel gleich der Zahl selber ist.

falsch, nur 0 und 1.

Es gibt unendlich viele Zahlen, deren Wurzel kleiner als die Zahl selber ist.

Wahr. Alle Zahlen zwischen 0 und 1.